标签:   离散型   时机   变量   期望   方差  
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离散型随时机变量的期望与方差

 版权申诉  ppt " "(理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题)" "10.8 离散型随时机变量的期望与方差" "1.数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望,简称期望. 2.方差: 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是x1,x2,…, xn,…,且取这些值的概率分别是p1,p2,…,pn,…,那么,Dξ=(x1- Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…称为随机变量ξ的均方 差,简称为方差,式中的Eξ是随机变量ξ的期望. 3.期望的性质:E(aξ+b)=aEξ+b. 4.方差的性质:(1)D(aξ+b)=a2Dξ;(2)Dξ=Eξ2-(Eξ)2." "1.设随机变量ξ的取值为1,2,3,4.P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4), 又ξ的数学期望Eξ=3,则a+b=________. 答案:" "2.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 则该公司一年后估计可获收益的期望是________元. 答案:4 760" "3.已知 ξ服从二项分布,即ξ~B(100, ),则E(2ξ+3)=________. 解析:由已知Eξ=100× =50,∴E(2ξ+3)=2Eξ+3=103. 答案:103" "4.(长沙市一中高三月考)某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位数N=  ,其中N的各位数字中,n1=n6=1,nk(k=2,3,4,5)出现0的概率为 ,出现1的概率为 ,记ξ=n1+n2+…+n6,问 ξ=4时的概率为________,ξ的数学期望是________. 解析:P(ξ=4)= ,ξ的数学期望是 2P(ξ=2)+3P(ξ=3)+4P(ξ=4)+5P(ξ=5)+6P(ξ=6)= . 答案: " "1. 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列 然后利用公式计算. 2.由ξ的期望方差求aξ+b的期望方差是常考题之一,常见根据 期望和方差的性质求解." "【例1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是 A1、A2、A3, B队队员是B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间的胜负概率如下:" "现按表中对阵方式出场胜队得1分,负队得0分,设A队,B队最后所得总分 分别为ξ,η (1)求ξ,η的概率分布;(2)求Eξ,Eη." "解答:(1)ξ,η的可能取值分别为3,2,1,0. P(ξ=3)= ,P(ξ=2)= P(ξ=1)= ,P(ξ=0)= 根据题意ξ+η=3,所以 P(η=0)=P(ξ=3)= ,P(η=1)=P(ξ=2)= , P(η=2)=P(ξ=1)= ,P(η=3)=P(ξ=0)= . (2)Eξ= ; 因为ξ+η=3,所以Eη=3-Eξ= ." "变式1.甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.(精确到0.000 1)" "解答:由已知随机变量ξ的取值为3,4,5, P(ξ=3)=0.63+0.43=0.28; P(ξ=4)= ×0.62×0.4×0.6+ ×0.42×0.6×0.4=0.374 4; P(ξ=5)= ×0.62×0.42×0.6+ ×0.42×0.62×0.4=0.345 6. 因此ξ的概率分布列为: ξ的期望Eξ=3×0.28+4×0.374 4+5×0.345 6=4.065 6." "二项分布的期望和方差除了根据定义去求,可利用公式求解.若ξ~B(n,p),则Eξ=np,Dξ=np(1-p)." "【例2】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求: (1)随机变量ξ的分布列;(2)随机变量ξ的期望." "解答:解法一:(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5. 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= P(ξ=4)= ,P(ξ=5)= 从而,ξ的分布列为:" "(2)由(1)得ξ的期望为: Eξ= 解法二:(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重 复试验,故ξ~B(5, ),即有P(ξ=k)= ,k=0,1,2,3,4,5. 由此计算ξ的分布列如解法一. (2)Eξ= ." "解法三:(1)同解法一或解法二. (2)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯的人数同分布, 故期望值相等.即3Eξ=5,从而Eξ= ." "变式2. 2010年广州亚运组委会向民间招募防暴犬,首先进行入围测试,计划考查三类问题:①体能;②嗅觉;③反应,这三类问题中只要有两类通过测试,就可以入围.某驯犬基地有4只优质犬参加测试,已知这4只优质犬通过①类问题的概率都是 ,通过②类问题的概率都是 , 通过③类问题的概率都是 . (1)求每只优质犬能够入围的概率; (2)若每入围1只优质犬给基地计10分,设基地得分为随机变量ξ,求Eξ." "解答:(1)设通过①类测试为事件A,通过②类、③类分别为B、C, 则由题意知 P=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)·P( )+P(A)P( )P(C)+P( )P(B)P(C) = = (2)设优质犬入围的只数为η,则ξ=10η,且由题知 η~B(4, ),则Eη=nP=4× = ,∴Eξ=10Eη=10× = . " "二项分布的期望和方差公式的推导要利用组合数的性质以及数列求和的方法,而某些概率分布的期望和方差公式的推导还需用到极限的知识.一般的离散型随机变量分布列的期望和方差都会与数列求和有密切的关系. " "【例3】箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n次,以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列;(2)求ξ的数学期望." "解答:随机变量ξ的取值:ξ=0,1,2,…,n.(ξ=n表示n次取出的全是 白球),令Ai表示“第i次取出的是白球”(i=1,2,…,n), 表示“第i次取出的是黄球”.依题意有: P(Ai)= =p, =1-p=q(i=1,2,…,n)." "(1)由于每次取球是独立的,所以有 P(ξ=k)=P(A1A2…Ak k+1)=P(A1)P(A2)…P(Ak)·P( k+1) =qpk(k=0,1,2,…,n-1),P(ξ=n)=P(A1A2…An)=pn. ξ的分布如下:" "(2)ξ的数学期望 记S(p)= =1+2p+…+(n-1)pn-2, ① 则pS(p)= =p+2p2+…+(n-1)pn-1. ② ①—②得:(1-p)S(p)=1+p+…+pn-2-(n-1)pn-1= -(n-1)pn-1, ∴S(p)= -(n-1) = -(n-1) ∴E(ξ)= " "变式3.某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率." "解答:ξ的取值分别为1,2,3,4. ξ=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P(ξ=1)=0.6. ξ=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了, 故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28. ξ=3表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了, 故P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096. ξ=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过, 故P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024." "∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为 1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6." "1.一般的离散型随机变量可利用定义求随机变量的数学期望和方差. 2.二项分布、几何分布等可利用公式计算随机变量的数学期望和方差,而 公式的推导要利用数列求和,二项式系数性质和求无穷数列各项和(数列极 限)的知识和方法. 3.可根据所计算的离散型随机变量的数学期望和方差,根据实际问题的具 体情况和相应的要求反映出评估和决策. " "【方法规律】" "(2009·安徽)(本题满分12分) 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区,B肯定是受A感染,对于C因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和B感染的概率都是 ,同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 .在这样假定下,B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量,写出x的分布列(不要求写出计算过程),并求x的均值(即表示期望)." "解答:根据已知条件随机变量x的取值分别是1,2,3. P(x=1)= ,P(x=2)= P(x=3)= 则随机变量ξ的分布列为 " "【答题模板】" "Eξ= +1+ = " "1. 离散型随机变量的期望和方差是高考考查离散型随机变量分布列的重 点.高考中也考查二项分布和几何分布相关的分布列及期望和方差. 2.本题考查了独立事件的概率,综合考查了学生的审题能力和分析解决问 题的能力.ξ的取值及相互独立是突破本题的关键,该类型是高考常考 题.易错点是读不透题导致理解片面而误解. " "【分析点评】" "点击此处进入 作业手册








































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