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离散数学-代数系统

 版权申诉  ppt " "离散数学(二)第一讲" "计算机学院: 焦晓鹏 2014.秋 " "个人信息(Personal Information)" "Instructor :焦晓鹏,副教授,工学博士 Bs.(2004) Xidian University PhD(2009) Xidian University RF(2010-2012) National University of Singapore Research Direction: ●新型差错控制编码技术 ●高密度存储系统信号处理和编码技术 (高密度磁盘和闪存flash memory) ●数字喷泉码和网络编码技术 Laboratory :计算学院计算机科学系 Office :主楼I-区, 402房间 Tel: 13649231460 Email : jiaozi1216@126.com" "关于学习和考试" "(1) 摆正学习和考试的关系 考试是学习期间的副产品 以考试为目的的学习是对知识耍流氓 (2) 勤奋!!! 诸葛亮 诫子书 夫君子之行,静以修身,俭以养德。非淡泊无以明志,非宁静无以致远。夫学须静也,才须学也。非学无以广才,非志无以成学。韬慢则不能励精,险躁则不能治性。年与时驰,意与岁去,遂成枯落,多不接世。悲守穷庐,将复何及?" "名人话数学" " 数学是科学之王。 ——高斯 数学支配着宇宙。——毕达哥拉斯 自然界的书是用数学的语言写成的。——伽利略 数学是一切知识中的最高形式。——柏拉图 数学是打开科学大门的钥匙。 ——培根 一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步。——马克思 一个国家只有数学蓬勃的发展,才能展现它国力的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑" "离散数学(Discrete Mathematics)" " 读史使人明智,读诗使人聪慧,演算使人精密,哲理使人深刻,伦理学使人有修养,逻辑修辞使人善辩。 ——培根 数学史的书籍: <古今数学思想> [美] 莫里斯.克莱茵 著 <数学史> [英] 斯科特 著 广西师范大学出版社 没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使火热的发明变成冰冷的美丽。 ——弗赖登塔尔:荷兰著名数学教育家" "离散数学课程的学习特点及方法" "特点: 强调:逻辑性、抽象性; 注重:概念、方法与应用 方法: 1.该课程概念名词多,定义多,公式多,要求记忆准确。 2.认真/仔细做好课堂笔记。 3.完成大量习题。 考核: 平时成绩15% 期末考试85%" "离散数学教材" "教材: 《离散数学》 方世昌编著 西安电子科技大学出版社 2009.8" "离散数学教材" "旧版教材: 《离散数学》 方世昌编著(第二版) 西安电子科技大学出版社 1996.11" "离散数学参考书" "1.《离散数学》左孝凌、李为鑑、刘永才编著 上海科技文献出版社" "离散数学参考书" "2. 《离散数学》--理论•分析•题解,左孝凌等著 上海科技文献出版社 " "离散数学参考书" "3.《离散数学习题集》 数理逻辑与集合论分册 耿素云 图论分册, 耿素云 抽象代数分册, 张立昂 北京大学出版社" "离散数学参考书" "离散数学参考书" "离散数学教学内容" "高次方程求解历程" "(1) 埃及/古希腊 一次/二次方程 (2) 16世纪意大利 三次方程(卡当公式), 四次方程 (3) 17世纪 四次以上方程 未解出! (4) 18世纪 欧拉推断: 实系数多项式可分解为一次或二次因式乘积 哥德巴赫拒绝接受欧拉推断 问题转换: 每一个此类多项式至少有一个实根或者复根(代数基本定理) 欧拉, D’Alembert, 拉格朗日分别给出证明,但并不完善 高斯(1799,博士论文)证明了代数基本定理 Vandermonde和高斯研究了xn-1=0的特殊情形 四次以上方程代数可解的一般情况 拉格朗日: “关于方程的代数解法的思考”,被迫得出结论用代数运算求解一般高次方程是不可能的. (5) 19世纪 阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)彻底解决高次方程代数不可解!" "近世代数/抽象代数历史" "尼尔斯·亨利克·阿贝尔(Niels Henrik Abel) 1802年8月5日-1829年4月6日 挪威数学家,以证明五次方程不存在根式解和对椭圆函数论的研究而闻名" "埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois) 1811年10月25日-1832年5月31日 法国数学家,以发现了n次多项式可以用根式解的充要条件而闻名. 伽罗瓦理论,当代代数与数论的基本支柱之一" "近世代数/抽象代数历史" "近世代数/抽象代数历史" "近世代数/抽象代数历史" "后人对伽罗瓦的评论: 被许多科学家和史学家认为是人类历史上最伟大的10位数学家之一 著名数学家皮卡评价: 在开创性和概念的深邃 方面无人能及 20世纪伟大数学家外尔评价:伽罗瓦的论述在好几十年中一直被看作是天书;但是,它后来对数学的整个发展产生愈来愈深远的影响.如果从它所包含思想之新奇和意义之深远来判断,也许是整个人类知识宝库中价值最为重大的一件珍品. 大数学家weil评价: 现在,大家都已充分认识到伽罗瓦理论是一个基本分支,每一个严肃认真的数学专业大学生应该在头几年的教育中就了解它." "近世代数/抽象代数历史" "第六章、代数结构" "代数系统: 集合和定义在集合上的若干运算所组成的系统。用抽象方法研 究各种代数系统性质的理论学科叫“近世代数”或“抽象代数”。 “抽象方法”是指 (1)不关注组成代数系统的具体集合是什么,也不关注集合上的运算如何定义 (2)研究抽象的数学结构,研究抽象数学结构的一般性质 线性代数: 命题代数: 集合代数:<ρ(A),∩,∪,—> " "第六章、代数结构" " 特别地,半群在形式语言和自动机理论中有着重要的应用,有限域理论是差错控制编码理论的数学基础,在通讯中发挥了重要作用。而电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设计更是离不开布尔代数。" "第六章、代数结构" " 代数的概念和方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。 众所周知,在各种数学问题及许多实际问题的研究中都离不开数学模型,要构造一个现象或过程的数学模型,就需要某种数学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一。因此,我们有必要掌握代数系统的重要概念和基本方法。" "第一讲 代数系统" "主要内容:" "重点和难点:" "一、代数的构成与分类" "代数的构成: 运算的定义:函数 f: Sm→S称为集合S上的m元运算,m∈N叫 运算的元数(或阶)。 m=1, 一元运算,S→S, R→R, f(x)=|x|+1; m=2, 一元运算,S2→S, R2→R,f()=x+y; 一般地,n元运算,Sn→S。 代数系统的定义:1. 一个非空集合A(代数的载体);2. 定义 的若干在A上封闭的运算f1,f2,…,fm;3.代数常数。 代数系统常用一个n重组来表示, 其中A称为 代数结构的载体,,,…为各种运算。有时为了强调S有某些元 素地位特殊,也可将它们列入n重组的末尾,即。 " "一、代数的构成与分类" "代数的分类: 1. 要有相同的构成成分。 2. 服从一组相同的称为公理的性质。 " " 例: 考虑具有形式构成成分和下述公理的代数类(这里“-”是一元运算)。 (1) a+b=b+a (2) a·b=b·a (3) (a+b)+c=a+(b+c) (4) (a·b)·c=a·(b·c) (5) a·(b+c)=a·b+a·c (6) a+(-a)=0 (7) a+0=a (8) a·1=a 那么 是同类代数, 但<ρ(S), ∪, ∩, ¯, Ø , S>是不同类的, 因为公理(6)对这个代数不成立 (这里“-” 表示集合的绝对补)。" "二、子代数" "封闭性定义: 设◦与∆是S上的二元与一元运算, S′ ⊆ S, 若对任意a,b∈S′,蕴含着a◦b∈S′,称S′关于运算◦是封闭的; 若对任意a∈S′,蕴含着∆a∈S′,称S′关于运算∆是封闭的 。" "子代数的定义: 设A=是一代数, 如果 (1) S′⊆ S (2) S′对S上的运算◦和△封闭 (3) k∈S′ 那么A′=是A的子代数。 例如:(1) 的子代数; (2) <{0, 2}, +4, 0>是<{0, 1, 2, 3}, +4, 0>的一个子代数。" "三、幺元、零元" "幺元定义: 设*是S上的二元运算, (1)若存在el∈S,对所有x∈S,都有el * x =x,则称el是关于运算*的左么元(Left Identity Element),或称左单位元(Left Unit Element)。 (2)若存在元素er∈S,对所有x∈S,都有x* er =x,则称er是关于运算*的右么元(Right Identity Element),或称右单位元(Right Unit Element)。 (3)若存在e∈S,它既是左么元也是右么元,则称e是关于运算*的一个么元(Identity Element),或称单位元(Unit Element),即对所有x∈S,都有x* e =e * x= x,则e是关于运算*的么元。" "三、幺元、零元" "幺元示例: 例2 代数A=<{a,b,c},*>如下表所示: 可以看出,代数A左么元为b,没有右么元。 例3 中么元为1;中么元为0。 " "三、幺元、零元" "零元定义: 设*是S上的二元运算, (1)若存在θl∈S,对所有x∈S,都有θl * x=θl,则称θl是为关于运算*的左零元(Left Zero Element)。 (2)若存在θr∈S,对所有x∈S,都有x*θr=θr,则称θr是关于运算*的右零元(Right Zero Element)。 (3)若存在θ∈S,它既是左零元也是右零元,则称θ是关于运算*的零元,即对任意x∈S,都有θ*x=x*θ=θ,则θ是关于运算*的零元(Zero Element)。" "在例2中代数A=<{a,b,c},*>的右零元为a,b;没有左零元。" "三、幺元、零元" "例4:(1) 么元:1, 零元:0; (2) S非空有限集,代数<ρ(S), ∪, ∩, ¯, Ø , S> 么元 零元 对∪:Ø S 对∩: S Ø" "例2的代数中: 右零元:a, b;左零元:无;右么元:无;左么元:b" "可以看出: 左(右)零元不一定存在; 左(右)零元存在时也不一定唯一; 左零元与右零元可能同时存在。" "三、幺元、零元" " 定理1:设*是定义在集合A上的二元运算,且A中关于运算*的左幺元为el,右幺元为er,则el = er=e,且A中的幺元是唯一的。 证明:因为el和er分别为左幺元和右幺元,所以el = el *er=er=e。设另有一幺元e′,则e′=e′*e=e,所以幺元唯一。 定理2:设*是定义在集合A上的二元运算,且A中关于运算*的左零元为θl,右零元为θr,则θl=θr=θ,且A中的零元是唯一的。 定理3:设是一个代数系统,且集合A中元素的个数大于1.如果该代数系统中存在幺元e和零元θ,则θ≠e。 证明:用反证法,假如幺元e =零元,那么对于任意xA,必有x=e*x=θ*x=θ=e。于是,A中所有元素都是相同的,这与A中含有多个元素相矛盾。" "四、逆元" "逆元定义: 设*是A上的二元运算,e是A中关于*的么元, (1) 若对元素a∈A,存在b∈A,使b*a=e,则称b是a的左逆元; (2) 若对元素a∈A,存在b∈A,使a*b=e,则称b是a的右逆元; (3)若对元素a∈A,存在b∈A,使a*b=b*a=e,则称b是a的逆元,记为a-1。" " 例如中么元为0,x 的逆元为-x。 一般来说,一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元; 一个元素可以有左逆元而无右逆元,甚至一个元素的左(右)逆 元还可以不唯一。" "四、逆元" "例5(1):么元为0,仅0有逆元; 么元为1,仅零元0无逆元,其它元素x均有逆元。 例5(2):设Nk是前k个自然数的集, 这里k>0, Nk ={0, 1, 2, …,k-1},定义模k加法+k如下: 对每一x、y∈Nk, 么元为0; Nk的每一元素有逆元,0的逆元是0,每一非0元素x的逆元是k-x。 例5(3):设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:x ×k y = z,这里z∈Nk,且对某一n, xy-z=nk,即 1是么元,元素x∈Nk在Nk中有逆元仅当x和k互质。" "四、逆元" "1是幺元,逆元是它本身 0,2无逆元,3的逆元为3" "0无逆元, 1的逆元为1, 2的逆元为3, 3的逆元为2, 4的逆元为4" "四、逆元" " 定理4:对于可结合运算, 如果一个元素x有左逆元l和右 逆元r,那么l=r=x-1(即逆元是唯一的)。 证明 : 设e对运算*是么元, 于是l * x = x * r = e 根据运算*的可结合性, 得到 l = l * e = l *(x * r ) = (l * x) * r = e * r = r 设x有两个逆元a,b,那么 a = a * e = a * ( x * b ) = ( a * x ) * b = e * b = b 所以逆元是唯一的。 可约性定义:设*是S上的二元运算, a∈S, 如果对于每一x、y∈S有(a * x=a * y)∨(x * a=y * a) (x=y),则称a是可约的或可消去的。" "四、逆元" " 定理5:若代数中  运算满足结合律,且a∈S有逆元,那么a必定是可约的。 证明 :设a的逆元为a-1,对∀x、y∈S, (1)当ax = ay时可得a-1 (ax) = a-1 (ay), 即 (a-1 a)x = (a-1 a)y,可推得x = y。 (2)当xa = ya时可得(xa)  a-1 = (ya)  a-1 , 即x(a  a-1) = y(a  a-1) ,也可推得x = y。 因此,a是可约的。 Note:上述定理的逆不成立。例如中,∀a∈I且a≠0, a是可约的,但除了1外其他元素都不存在逆元。" "五、代数系统:例题" " 例: 在整数集合I上, 定义二元运算。为 a*b=a+b-2 请回答: (1) 集合I和运算*是否构成代数系统? (2) 运算*在I上可交换吗? (3) 运算*在I上可结合吗? (4) 运算*在I上有无单位元? (5)对运算*是否所有的元素都有逆元?若有,逆元是什么?" "五、代数系统:例题" " 解答: (1) 集合I和运算*是否构成代数系统? 任取a,b∈I,则a+b-2∈I,即a * b∈I,所以*在I上封闭,即集合I和运算*构成代数系统。 (2) 运算*在I上可交换吗? 因为a*b=a+b-2=b+a-2=b*a,所以 *在I上可交换。 (3) 运算。在I上可结合吗? 任取a,b,c∈ I , 因为 (a*b)*c=(a+b-2)*c=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4 所以(a * b) * c=a *(b * c),故*在I上可结合。 " "五、代数系统:例题" " 解答: (4) 运算*在I上有无单位元? 若e是I上关于*的单位元,则任取a∈I,应有a*e=e*a=a,由交换律,只要a*e=a,即a+e-2=a,得e=2,而2∈I,故*在I中有单位元2。 (5) 对运算*是否所有的元素都有逆元?若有,逆元是什么? 任取a∈I ,有4-a∈I ,而 a *(4-a)=a+(4-a)-2=2 (4-a) * a=(4-a)+a-2=2 即I中任一元素a都有逆元4-a。" "作业: P174 习题6.1 1、 5、7、11 P176 习题6.2 2
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