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离散数学习题评讲

 版权申诉  ppt " "代数系统/图论部分习题讲评 习题5-3 (2)设<S,*>是一个半群,a∈S,在S上定义一个二元运算□,使得对于S中的任意元素x和y,都有x□y=x*a*y,证明二元运算□是可结合的。 证明:S中任取元素x,y,z,则 x□(y□z)=x□(y*a*z)=x*a*(y*a*z) =(x*a*y)*a*z =(x□y)*a*z=(x□y)□z 习题5-4 (5)设是群,且|A|=2n,n∈I+。证明:在A中至少存在a≠e,使得a*a=e。其中e为幺元。" "证明:a*a=e即表明存在元素a≠e以自身为逆元,除去幺元e之外,余下任一元素都不以自身为逆元,则余下的元素数目必须为偶数才能互相配对,因为|A|=2n,除去幺元外,还有2n-1个元素,不可能互相配对,故其中至少有一个元素必须以自身为逆元。 习题5-5 (1)设是一个独异点,并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e,其中e是幺元,证明是一个阿贝尔群。 证明:G中任取元素x,y,令x*y=a,y*x=b,则 a*b=(x*y)*(y*x)=e,两边左*a, a*(a*b)=a*e,得b=a,故x*y=y*x,为阿贝尔群。" "习题5-7 (7) 设aH和bH是H在G中的两个左陪集,证明:要么aH∩bH=,要么aH=bH。 证明:根据拉格郎日定理,H的所有左陪集形成等价类并决定了一个等价关系R,因此,当且仅当aRb时,aH=bH,aRb时,a,b分属不同的等价类,有aHbH= ,故要么aH∩bH=,要么aH=bH。 (8)设p是质数,证明:pm阶群中一定包含着一个p阶子群。" "" "证明:由拉格朗日定理及其推论可知,pm阶群中除幺元外其余元素的阶次只能为p,p2,…,pm, 设某元素a的阶次为pk(1<=k<=m),取 H={apk-1,a2.pk-1,a3.pk-1,…,ap.pk-1=e},显然,H中的元素相运算满足封闭性,故H可构成群。 因为|H|=p,故必有p阶子群。 习题5-8 (1)证明:如果f是由的同态映射,g是由的同态映射,那么gf是的同态映射。" "证明:任取a,b∈A,则 g  f(a★b)=g(f(a)*f(b))=g(f(a)) △g(f(b)) =g  f(a) △g  f(b),故g  f是g  f是的同态映射。 (6)证明:循环群的同态象必定是循环群。 证明:设f是循环群到代数系统是同态映射,若的生成元为a,设f(a)=r,设f(ak)=rk,k∈I+且k≠0,则 f(ak+1)=f(ak)×f(a)= rk×r= rk+1,故 f(ak)= rk,k∈I+且k≠0成立。 同态象f(A)中任取元素b,则存在x∈A,使得f(x)=b,设x=am,有b=rm,即f(A)中任一元素b都可由r生成。" "习题7-1 (1)证明在任何有向完全图中,所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。 证明:设有向完全图中有n个顶点,顶点记为 v1,v2,…,vn,设第k个(k=1,2,..,n)顶点vk的出度为xk,入度为yk,因为有向完全图,故有xk+yk=n, " "习题7-5 (2)证明:小于30条边的平面简单图有一个结点度数小于等于4。 证明:假设该平面简单图中没有结点度数小于等于4,则所有结点度数大于等于5,设顶点数为v,边数为e,面数为r,有 2e≥5v ,即v≤(2/5)e 又每面次数不低于3,有2e≥3r, 即r≤(2/3)e 根据欧拉公式 v+r-e=2,得 (2/5)e+(2/3)e-e≥2,得e≥30,与e小于30矛盾,故假设不成立,一定存在顶点度数小于等于4。














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