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离散数学代数结构

 版权申诉  ppt " "1" " 代数结构" "2" "代数结构部分" " 第5章 代数系统的一般性质 第6章 几个典型的代数系统" "3" "第5章 代数系统的一般性质" " 5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统及其子代数和积代数 5.3 代数系统的同态与同构" "4" "5.1 二元运算及其性质" " 二元运算定义及其实例 一元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 交换律、结合律、幂等律、消去律 分配律、吸收律 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元" "5" "二元运算的定义及其实例" "定义 设 S 为集合,函数 f:S×S→S 称为 S 上的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. (1)保证参加运算的可以是S 中任意两个元素; (2)运算的结果也是S中的一个元素 例1 (1) N 上的二元运算:加法、乘法. f:N×N→N, f()=x+y (2) Z 上的二元运算:加法、减法、乘法.   (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai , ∘为 S 上二 元运算. " "" "6" "二元运算的实例(续)" " (5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合,即   矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算:∪,∩,-, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合:合成运算∘. " "7" "一元运算的定义与实例" "定义 设 S 为集合,函数 f:S→S 称为 S 上的一元运算,简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*,非零实数集 R*上的一元 运算:  求倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算:  求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~  (5) A 为 S 上所有双射函数的集合,ASS: 求反 函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上,求转置矩阵 " "8" "二元与一元运算的表示" "算符:∘, ∗, · , ,  等符号 表示二元或一元运算 对二元运算 ∘,如果 x 与 y 运算得到 z,记做 x∘y = z; 对一元运算 ∘, x 的运算结果记作 ∘x 表示二元或一元运算的方法: 公式、 运算表 注意:在同一问题中不同的运算使用不同的算符" "9" "公式表示 例3 设 R 为实数集合,如下定义 R 上的二元运算 ∗: x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3 ∗ 4 = 3 0.5 ∗ (-3) = 0.5 运算表(表示有穷集上的一元和二元运算) " "二元与一元运算的表示(续)" "10" "运算表的形式" "11" "运算表的实例" "例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算 ({a,b}为全集)  的运算表 ∼ 的运算表" "12" "运算表的实例(续)" "例5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, ,  分别为模 5 加法与乘法  的运算表  的运算表" "13" "二元运算的性质" " 定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z ∈S 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), 则称运算在 S 上满足结合律.  (3) 如果对于任意的 x ∈ S 有 x ∘ x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律. S 中的全体元素都是幂等元" "14" "实例分析" "Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集;Mn(R)为 n 阶实矩阵集合, n2;P(B)为幂集;AA 为 A上A,|A|2." "15" "二元运算的性质(续)" " 定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. (2) 如果∘ 和 ∗ 都可交换, 并且 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘ 和 ∗ 运算满足吸收律. " "16" "实例分析" "Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集;Mn(R) 为 n 阶实矩阵集合, n2;P(B)为幂集;AA为 A上A,|A|2." "17" "二元运算的特异元素" "单位元 定义 设∘为S上的二元运算, 如果存在el(或er)S,使得对任意 x∈S 都有 el ∘ x = x ( 或 x ∘ er = x ), 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右 )幺元元. 若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位元,则称 e 为 S 上关于 ∘ 运算的 幺元. 例:N上加法的幺元是0,乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵,乘法的幺元是单位阵 P(S)上的么元是 , 的幺元是S " "18" "例:R*是非零实数集,∘是R*上的二元运算 R*任意a,b, 有a ∘b=a 则∘运算不存在左幺元,存在无数个右幺元, 因此不存在幺元 定理 设 ∘为S上的二元运算,el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和右幺元,则 el = er = e 为 S 上关于 ∘ 运算的惟一的幺元.  证 el = el ∘ er = el ∘ er = er  所以 el = er , 将这个幺元记作 e. 假设 e’ 也是 S 中的幺元,则有 e’ = e ∘ e’ = e. 惟一性得证." "" "19" "二元运算的特异元素(续)" "零元 设 ∘ 为 S 上的二元运算, 如果存在θl(或θr)∈S,使得对任意 x∈S 都有 θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr ), 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右) 零元. 若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元,则称θ为 S 上关于运算 ∘ 的 零元. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 例:N上乘法的零元是0,加法没有零元 Mn(R)上乘法的零元是0矩阵,加法没有零元 P(S)上的零元是S , 的零元是" "20" "二元运算的特异元素(续)" "可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算∘的幺元. 对于 x∈S,如果存在yl(或 yr)∈S 使得 yl ∘ x = e(或 x ∘ yr = e), 则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ). 关于 ∘运算,若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元,则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在,就称 x 是可逆的. 例:N上加法运算,只有0有逆元,为0 Z上加法运算,任何整数都存在逆元,为其相反数 Mn(R)上乘法,只有可逆矩阵存在逆元,为其逆矩阵 P(S)上运算,只有存在逆元,为" "21" "实例分析" "22" "小结: 对于给定的集合和二元运算,幺元、零元、逆元不同。 如果幺元和零元存在,一定是唯一的。 逆元是与集合中的某个元素相关的,有的元素有逆元,有的元素没有逆元,不同的元素对应不同的逆元。 注意:当 |S| = 1 时,这个元素既是单位元 也是零元. " "23" "惟一性定理(续)" "定理 设 ∘为 S 上可结合的二元运算, e 为该运算的幺元, 对于 x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr , 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆元.  证 由 yl ∘ x = e 和 x ∘ yr = e 得 yl = yl ∘ e = yl ∘(x ∘ yr) = (yl ∘ x) ∘ yr = e ∘ yr = yr 令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则 y'= y’ ∘ e = y’ ∘(x ∘ y) = (y’ ∘ x) ∘ y = e ∘ y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明:对于可结合的二元运算,可逆元素 x 只有惟一的逆元,记作 x1. " "24" "消去律" "定义 设∘为V上二元运算,如果 x, y, zV, 若 x ∘ y = x ∘ z,且 x不是零元,则 y = z 若 y ∘ x = z ∘ x, 且 x 不是零元,则 y = z 那么称 ∘ 运算满足 消去律. 实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律 幂集P(S)上满足消去律 Zn关于模 n 加法满足消去律,当 n 为素数时关于 模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律. " "25" "例题分析" "解 (1) ∘ 运算可交换,可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x, 任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz" "例6 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算, x, yQ, x∘y = x+y+2xy, (1) ∘运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ∘ 运算的幺元、零元和所有可逆元." "26" "给定 x,设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立,即 x+y+2xy = 0  (x  = 1/2) 因此当 x  1/2时, 是 x 的逆元. " "" "例题分析(续)" "(2) 设∘运算的幺元和零元分别为 e 和 ,则对于任意 x 有 x∘e = x 成立,即 x+e+2xe = x  e = 0 由于 ∘ 运算可交换,所以 0 是幺元." "对于任意 x 有 x ∘  =  成立,即 x++2 x  =   x + 2 x  = 0   = 1/2 " "27" "例题分析(续)" "例7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的幺元、零元、所有可逆元素的逆元." "解 (1)  满足交换、结合律;∘ 满足结合、幂等律;  满足交换、结合律. " "(2)  的幺元为 b, 没零元, a1 = c, b1 = b, c1 = a ∘ 的幺元和零元都不存在,没有可逆元素.  的幺元为 a,零元为c, a1=a. b, c不可逆. " "28" "例题分析(续)" "例8 设 A = { a, b, c }, 构造 A 上的二元运算* 使得 a*b =c, c*b = b, 且*运算是幂等的、可交换的,给出关于*运算的一个运算表,说明它是否可结合,为什么?" "" "c" "b" "" "" "根据幂等律和已知条件a*b =c, c*b = b 得到运算表" "根据交换律得到新的运算表" "方框  可以填入a, b, c中任一选定的符号,完成运算表" "不结合,因为 (a*b)*b = c*b = b, a*(b*b) = a*b = c " "29" "由运算表判别算律的一般方法" "交换律:运算表关于主对角线对称 幂等律:主对角线元素排列与表头顺序一致 消去律:所在的行与列中没有重复元素 单位元: 所在的行与列的元素排列都与表头一致 零元:元素的行与列都由该元素自身构成 A 的可逆元:a 所在的行中某列 (比如第 j 列) 元素为 e,且第 j 行 i 列的元素也是 e,那么 a 与第 j 个元素互逆 结合律:除了单位元、零元之外,要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立" "30








































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