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离散数学关系的运算

 版权申诉  ppt " "1" "基本运算定义 定义域、值域、域 逆、合成、限制、像 基本运算的性质 幂运算 定义 求法 性质" "4.2 关系的运算" "2" "一、关系的基本运算定义" "1、定义域、值域 和 域" "定义 设R是二元关系,由(x,y)∈R 的所有x 组成的集合 称为 R的前域,记为domR。即domR = { x | y (R) }。 使(x,y)∈R 的所有y组成的集合称为R的值域,记为ranR。 即ranR = { y | x (R) }。称domR  ranR为R的域,记 为fldR 。即fldR = domR  ranR 。" " 解:根据题意R1 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} 故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}, fldR ={1,2,3,4}。 " " 例1 设A={1,2,3,4}, R1是A上的二元关系,当a,b∈ A, 且a | R} R∘S = | |  y (RS) } " "例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>,<2,3>, }, S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}, 求R1, R∘S , S∘R 。 " "解:R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>} " " R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} " "S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}" "4" "合成运算的图示方法" " 利用图示(不是关系图)方法求合成 R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}" "例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>,<2,3>, }, S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}, 求R1, R∘S , S∘R 。 " "5" "3、限制与像" "定义 F 在A上的限制 F↾A = { | xFy  xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A) " "例3 设 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} ,则 R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意:F↾AF, F[A] ranF " "6" "二、关系基本运算的性质 " "定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF" "定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1 " "7" "8" "三、A上关系的幂运算" "设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为: (1) R0={ | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R 注意: 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R " "9" "" "" "" "" "" "例:" "10" "定理 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则 (1) Rm∘Rn=Rm+n (2) (Rm)n=Rmn " "四、幂运算的性质" "11" "关系运算的矩阵表示 关系矩阵(matrix of relation)。 设R  A×B, A={a1, a2, …, am}, B={b1, b2, …, bn}, 那么R的关系矩阵 MR为一m×n矩阵,它的第i , j分量rij只取值0或1, 而 " "当且仅当aiRbj " "当且仅当 " "12" "某关系R的关系图为: " "则R的关系矩阵为:" "13" "思考: 写出集合A={1 , 2 , 3 , 4 }上的恒等关系、 空关系、 全域关系和小于关系的关系矩阵。" "答案:分别为:" "14" "在讨论关系矩阵运算前, 我们先定义布尔运算, 它只涉及数字0和1。 布尔加法(∨ ): 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1 布尔乘法( ∧ ): 1 · 1 = 1 0 · 1 = 1 · 0 = 0 · 0 = 0" "15" "R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示" "五、幂的求法" "例3 设A={a,b,c,d}, R={,,,}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为" "16" "幂的求法(续)" "对于集合表示的关系R,计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={,,,}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为" "" "17" "同理,R0=IA, R3和R4的矩阵分别是: 因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…, R3=R5=R7=… " "" "幂的求法(续)" "18" "六、幂运算的性质" "19" "定理 设R  A  A, 若存在自然数s, t (ss, 因而存在q, rN, 使得 n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1) 即 n = s + (t – s)q + r Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r (2) 而s + r≤s + t – s – 1= t –1, 所以 Rn = Rs+r S。▎" "21" "Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 例 设R  A  A, 化简R2003的指数。 (1)已知 R3 = R5; (2) 已知 R7 = R15。 解 (1) s = 3, t = 5, n = 2003, = = 1000" "= 1000  1 + 0, 因此, q = 1000, r = 0, R2003 = R3+21000+0 = R3+0 = R3{R0, R1, …, R4}" "22" "Rs+(t–s)q+r = Rs+r, (2) s = 7, t = 15, n = 2000, = = 249  8 + 1, " "因此, q = 249, r = 1, R2000 = R7+8249+1 = R7+1 = R8{R0, R1, …, R14} ▎








































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