标签:   离散   数学   第六章   集合   代数  
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离散数学第六章集合代数

 版权申诉  ppt " "1" "第七章 二元关系(重点)" "第二部分 集合论" "第六章 集合代数" "第八章 函数(重点) " "2" "主要内容 6.1 集合的基本概念 属于、包含、幂集、空集、文氏图等 6.2 集合的基本运算 集合的初级运算:并、交、相对补、绝对补、对称差 集合的广义并与广义交 有穷集合元素的计数 6.3 集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法 " "第六章 集合代数" "3" "6.1 集合的基本概念" "1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解:由离散个体构成的整体称为集合,称这些个体为集 合的元素 常见的数集:N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合" "2. 集合表示法 枚举法----通过列出全体元素来表示集合 谓词表示法----通过谓词概括集合元素的性质 实例: 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={ x | x是实数,x21=0} " "4" "元素与集合" "1. 集合的元素具有的性质 无序性:元素列出的顺序无关 相异性:集合的每个元素只计 数一次 确定性:对任何元素和集合都 能确定这个元素是否 为该集合的元素 任意性:集合的元素也可以是 集合 2.元素与集合的关系 隶属关系:或者 3.集合的树型层次结构" "d A , a A" "5" "集合与集合" "集合与集合之间的关系:, =, ⊈, , ,  定义6.1 A  B  x ( xA  xB ) 定义6.2 A = B  A  B  B  A 定义6.3 A  B  A  B  A  B A ⊈ B  x ( xA  xB ) 思考: 和  的定义 注意  和  是不同层次的问题" "6" "空集、全集和幂集" "1.定义6.4 空集  :不含有任何元素的集合 实例: { x | xR  x2+1=0 } 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A,A  x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 " "3. 定义6.6 全集 E:包含了所有集合的集合 全集具有相对性:与问题有关,不存在绝对的全集" "2. 定义6.5 幂集:P(A)={ x | x  A } 实例:P()={}, P({})={,{}} 计数:如果 |A|=n,则 |P(A)|=2n. 例如, A={1,2,3}则 |P(A)|=23=8 " "7" "6.2 集合的运算" "初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 并 AB = {x | xA  xB} 交 AB = {x | xA  xB} 相对补 AB = {x | xA  xB} 定义6.8 对称差 AB = (AB)(BA) 定义6.9 绝对补 A = EA " "8" "文氏图" "集合运算的表示" "A" "B" "A" "B" "A" "B" "A" "B" "A" "B" "AB" "AB" "A–B" "AB" "~A" "9" "几点说明" "并和交运算可以推广到有穷个集合上,即 A1  A2  …  An = { x | xA1 xA2  … xAn} A1  A2  …  An = { x | xA1  xA2  …  xAn} A  B  AB =  AB =   AB = A" "10" "广义运算" "1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA  xz )} 广义交  A= { x | z ( zA  xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}, {{a}}={a} {a}=a, {a}=a" "11" "关于广义运算的说明" "2. 广义运算的性质 (1) =,无意义 (2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次(括弧减少一层) (4) 广义运算的计算:一般情况下可以转变成初级运算 {A1, A2, … , An}=A1A2…An {A1, A2, … , An}=A1A2…An 3. 引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算,例如 {{x} | xR}=R 这里的 R 代表实数集合. " "12" "运算的优先权规定" "1 类运算:初级运算, , , , 优先顺序由括号确定 2 类运算:广义运算和运算, 运算由右向左进行 混合运算:2 类运算优先于1 类运算" "例1 A={{a},{a,b}},计算A(AA). 解: A(AA) = {a,b}({a,b}{a}) = (ab)((ab)a) = (ab)(ba) = b" "13" "有穷集合元素的计数" "1. 文氏图法 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质,其中具有第 i 条性质的 的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为 " " 推论 S中至少具有一条性质的元素数为" "14" "实例" "例2 求1到1000之间(包含1和1000在内)既不能被5和6整 除,也不能被8整除的数有多少个?" " 定义以下集合: S={ x | xZ  1x1000} A={ x | xS  x可被5整除} B={ x | xS  x可被6整除} C={ x | xS  x可被8整除} " "解得N=1000-(200+100+33+67) =600" "画出文氏图,然后填入相应的数字," "解 方法一:文氏图" "15" "实例" "方法二 包含排斥原理 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600 " "16" "6.3 集合恒等式" "集合算律 1.只涉及一个运算的算律: 交换律、结合律、幂等律" "17" "集合算律" " 2.涉及两个不同运算的算律: 分配律、吸收律 " "18" "集合算律" "3.涉及补运算的算律: DM律,双重否定律 " "19" "集合算律" "4.涉及全集和空集的算律: 补元律、零律、同一律、否定律" "20" "集合证明题" "证明方法:命题演算法、等式置换法 命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY 任取x, xX  …  xY (2) 证X=Y 方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x,xX  …  xY 注意:在使用方法二的格式时,必须保证每步推理都是充 分必要的" "21" "集合等式的证明" "方法一:命题演算法 例3 证明A(AB) = A (吸收律) 证 任取x, xA(AB)  xAxAB  xA(xAxB)  xA 因此得 A(AB) = A." "例4 证明 AB = AB 证 任取x, x AB  xAxB  xAxB  xAB 因此得 AB = AB " "22" "等式代入法" "方法二:等式置换法 例5 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立,证明吸 收律. 证 A(AB) = (AE)(AB) (同一律) = A(EB) (分配律) = A(BE) (交换律) = AE (零律) = A (同一律)" "23" "包含等价条件的证明" "例6 证明AB  AB=B  AB=A  AB= ① ② ③ ④ 证明思路: 确定问题中含有的命题:本题含有命题 ①, ②, ③, ④ 确定命题间的关系(哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论):本题中每个命题都可以作为已知条件,每个命题都是要证明的结论 确定证明顺序:①②,②③,③④,④① 按照顺序依次完成每个证明(证明集合相等或者包含) " "24" "" "证 ①② 显然BAB,下面证明ABB. 任取x, xAB  xAxB  xBxB  xB 因此有ABB. 综合上述②得证. ②③ A=A(AB)  A=AB (由②知AB=B,将AB用B代入) " "证明AB  AB=B  AB=A  AB= ① ② ③ ④" "25" "③④ 假设AB, 即xAB,那么知道xA且xB. 而 xB  xAB 从而与AB=A矛盾. ④① 假设AB不成立,那么 x(xAxB)  xAB  AB 与条件④矛盾. " "" "证明AB  AB=B  AB=A  AB= ① ② ③ ④" "26" "第六章 习题课" "主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系 特殊集合:空集、全集、幂集 文氏图及有穷集合的计数 集合的, , , , 等运算以及广义, 运算 集合运算的算律及其应用" "27" "基本要求" "熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系 熟练掌握集合的基本运算(普通运算和广义运算) 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法" "28" "练习1" " 1.判断下列命题是否为真 (1)  (2)  (3) {} (4) {} (5) { a, b }  { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b}  { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}} " "解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真,其余为假." "29" "方法分析" "(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法: 把 a 作为整体检查它在A中是否出现,注意这里的 a 可 能是集合表达式. (2) 判断AB的四种方法 若A,B是用枚举方式定义的,依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的,且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB,“P当且仅当Q”意味A=B. 通过集合运算判断AB,即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含(注意这里是判断,而不是证明" "30" "练习2" "2.设S1={1, 2, … , 8, 9},S2={2, 4, 6, 8},S3={1, 3, 5, 7, 9} S4={3, 4, 5}, S5={3, 5}。确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等?如果是,又与哪个集合相等? (1)若 XS5= (2)若 XS4但 XS2= (3)若 XS1且 X ⊈S3 (4)若 XS3= (5)若 XS3 且 X ⊈ S1" "31" "解答" "解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5,因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2不交,不能含有偶数, 因此 X=S5. (3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集,不包含在S3的子集含有 偶数,因此 X=S1, S2或S4. (4) XS3=意味着 X是S3的子集,因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是S1的子集,因此这样的X不存在." "32" "练习3" "3. 判断以下命题的真假,并说明理由. (1)AB = A  B= (2)A(BC) = (AB)(AC) (3)AA = A (4)如果AB = B,则A = E. (5)A = {x}x,则 xA且x  A. " "33" "解题思路" "先将等式化简或恒等变形. 查找集合运算的相关的算律,如果与算律相符,结果为真. 注意以下两个重要的充要条件 AB = A  AB =  AB =   AB  AB = B  AB = A 如果与条件相符,则命题为真. 如果不符合算律,也不符合上述条件,可以用文氏图表示集合,看看命题是否成立.如果成立,再给出证明. 试着举出反例,证明命题为假." "34" "解答" "解 (1) B=是AB=A的充分条件,但不是必要条件. 当B不空但 是与A不交时也有AB=A. (2) 这是DM律,命题为真. (3) 不符合算律,反例如下: A={1},AA=,但是A. (4) 命题不为真. AB=B的充分必要条件是 BA,不是A=E. (5) 命题为真,因为 x 既是 A 的元素,也是 A 的子集 " "35" "练习4" "4.证明 AB = AC  AB = AC  B = C" "解题思路 分析命题:含有3个命题: AB = AC , AB = AC, B = C ① ② ③ 证明要求 前提:命题①和② 结论:命题③ 证明方法: 恒等式代入 反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式" "36" "解答" "方法一:恒等变形法 B = B(BA) = B(AB) = B(AC) = (BA)(BC) = (AC)(BC) = (AB)C = (AC)C = C " "方法二:反证法. 假设 B  C,则存在 x (xB且xC), 或存在 x (xC且xB). 不妨设为前者. 若x属于A,则x属于AB 但x不属于AC,与已知矛盾; 若x不属于A,则x属于AB但x不属于AC,也与已知矛盾. " "37" "解答" "方法三:利用已知等式通过运算得到新的等式. 由已知等式①和②可以得到 (AB) (AB) = (AC) (AC) 即 AB = AC 从而有 A(AB) =A(AC) 根据结合律得 (AA)B = (AA) C 由于AA = , 化简上式得B = C. " "38" "练习5" "5.设A,B为集合,试确定下列各式成立的充分必要条件: (1) AB=B (2) AB=BA (3) AB=AB (4) AB=A" "39" "分析" "解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明如下: (1) 化简给定的集合等式 (2) 求解方法如下: 利用已知的算律或者充分必要条件进行判断 先求必要条件,然后验证充分性 利用文氏图的直观性找出相关的条件,再利用集合论的证明方法加以验证 " "40" "解答" "解 (1) AB=B  A=B=. 求解过程如下: 由AB=B得 (AB)B = BB 化简得B=. 再将这个结果代入原来的等式得A= . 从 而得到必要条件A=B=. 再验证充分性. 如果A=B=成立,则AB==B也成立." " (2) AB=BA  A=B. 求解过程如下: 充分性是显然的,下面验证必要性. 由AB=BA得 (AB)A=(BA)A 从而有A=AB, 即AB. 同理可证BA." "41" "解答" "(3) AB=AB  A=B. 求解过程如下: 充分性是显然的,下面验证必要性. 由AB=AB得 A(AB) = A(AB) 化简得A =AB,从而有AB. 类似可以证明BA. " "(4) AB=A  B=. 求解过程如下: 充分性是显然的,下面验证必要性. 由AB = A得 A(AB) = AA 根据结合律有 (AA)B = AA 即 B = , 就是B = .








































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