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离散第3讲半群和群的定义和性质

 版权申诉  ppt " "2020/2/24" "1" "主要内容" "半群 独异点 群" "2020/2/24" "2" "半群" "定义10.1(1): 是一个代数系统,其中S是非空集合,*是S上的一个二元运算(运算*是封闭的),如果运算*是可结合的,即对任意的x,y,z∈S,   满足(x*y)*z=x*(y*z) 则称代数系统为半群。" "2020/2/24" "3" "例10.1" "Sk={x|x∈Z∧x≥k},为半群           不是半群 " "2020/2/24" "4" "例10.2" "Σ={a,b} ,Σ+为所有由a,b组成的字符串 ,” ·”为字符串的连接运算. 则< Σ+ ,·> 做成半群。 " "2020/2/24" "5" "独异点" "定义10.1(2):设是一个半群, 若存在eS为S中关于运算*的单位元,则称为幺半群,也叫做独异点。(有时也把单位元标明)" "2020/2/24" "6" "例10.1" "Sk={x|x∈Z∧x≥k}, (k>0) ? ?" " " "" "不是独异点" "是独异点" "2020/2/24" "7" "例10.2" "Σ={a,b} ,Σ+为所有由a,b组成的字符串 ,” ·”为字符串的连接运算. 思考:半群<Σ+ ,·> 是否做成独异点?" "空串 Σ*=Σ+{} <Σ* ,·> 做成独异点" "2020/2/24" "8" "例10.3" "幂集?" "2020/2/24" "9" "10.4" "是单位元 可结合性在运算表中无特殊体现" "2020/2/24" "10" "群(Group)" "定义10.1(3):设是一个代数系统,其中G是非空集合,*是G上一个二元运算,如果 (1).运算*是封闭的 (2).运算*是可结合的 (3).存在单位元e (4).对于每一个元素x∈G,存在着它的逆元x-1 则称是一个群" "2020/2/24" "11" "例10.1" "Sk={x|x∈Z∧x≥k}, (k>0) ? ? " " " "" "不是群" "不是群" "是群" "2020/2/24" "12" "例10.2" "Σ={a,b} ,Σ+为所有由a,b组成的字符串 ,” ·”为字符串的连接运算." "空串 Σ*=Σ+{} <Σ* ,·> 思考:独异点<Σ * ,·> 是否做成群? " "2020/2/24" "13" "例10.3" "幂集?单位元和逆元?" "2020/2/24" "14" "例10.4(1-2)" "(1) 整数加群 (2) 模n整数加群 思考:   是不是群?" "2020/2/24" "15" "例10.4(3-6)" "(3) n阶实矩阵加群 (4) n阶实可逆矩阵乘法群; (5) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩阵乘法; (6)集合A={1,2,3}上所有的双射函数构成集合S3,则关于映射的复合作成群." "2020/2/24" "16" "例10.5" "Klein 四元群G={e,a,b,c}" "2020/2/24" "17" "例10.5(2)" "Klein 四元群G={e,a,b,c} e=(0,0) a=(0,1) b=(1,0) c=(1,1) 运算º为逐分量模2加法," "2020/2/24" "18" "群的等价定义" "定理 (等价定义) , ∘可结合,若存在右单位元e,且每个元素a 相对于e 存在右逆元a’,则G是群." "证明: 封闭性 可结合性 单位元? 逆元? " "2020/2/24" "19" "群的等价定义" "定理 (等价定义) , ∘可结合,若存在右单位元e,且每个元素a 相对于e 存在右逆元a',则G是群." "证明: 证e为左单位元. ∀a∈G, (要证ea = a ) ee = e (e为右单位元) ⇒ e(aa') = (aa') ⇒ (ea)a' = aa' ⇒ ea = a (右乘a'的右逆元) 证a'为a 的左逆元,设 a'a''=e a''= ea'' = (aa') a'' = a(a'a'' ) = ae = a" "2020/2/24" "20" "群的性质(一元一次方程有解)" "性质1:设是一个群,任给a,b∈G,必存在唯一的x∈G,使得a*x=b;必存在唯一的x∈G,s.t. y*a=b." "证a-1b 是ax=b 的解. 假设c 为解,则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b" "2020/2/24" "21" "群的等价定义2" "定义:设是一个半群,a,b∈G,方程a*x=b和y*a=b在G中有解,则G是群。" "证 找右单位元和任意元素的右逆元. 任取b∈G,方程bx=b 的解记为e. ∀a∈G, yb=a 的解记为c, 即cb = a. ae = (cb)e = c(be) = cb =a e为右单位元. ∀a∈G, 方程ax=e 有解,得到a 的右逆元" "2020/2/24" "22" "群的相关术语" "平凡群 只含单位元的群 {e} 有限群与无限群 群G 的阶 G 的基数,通常有限群记为|G| 交换群或阿贝尔(Abel)群" "2020/2/24" "23" "例10.6(交换群)" "(1) 无限群; (2) 模6整数加群,阶为6 (3) 模4整数加群,阶为4 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c},阶为4 (5) 群,阶为| P(B)| " "2020/2/24" "24" "元素的幂运算" "定义 设是一个半群,xS, n Z+, 定义的x 的n次幂xn为:" "推广到独异点" "2020/2/24" "25" "元素的幂运算(推广到群)" "定义10.3 设是一个群,xG, n Z, 定义的x 的n次幂xn为:" "2020/2/24" "26" "元素的阶" " 定义10.4 设G是群, aG,元素a 的阶 |a|:使得ak=e 成立的最小正整数k。记作 |a|=k, 也称a为k阶元。 与群的阶比较 有限群的元素都是有限阶,比群的阶小(为群的阶的因子!!!); 元素都是有限阶的群不一定是有限群." "2020/2/24" "27" "例10.6(元素的阶)" "(1) 无限群, |0|=1 (2) 模6整数加群,元素的阶 (3) 模4整数加群,元素的阶 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c} (5) 群中元素的阶" "2020/2/24" "28" "幂运算的性质" "定理10.1 幂运算规则 (a-1)-1=a (ab)-1=b-1a-1 anam=an+m (an)m=anm 若G 为Abel 群,则(ab)n=anbn 说明: 等式1 和2 证明用到逆元定义和唯一性 等式3 和4 的证明使用归纳法并加以讨论 等式2 可以推广到有限个元素之积." "2020/2/24" "29" "群的性质(消去律)" "定理10.2:设是一个群,对于任意的a,b,c∈G,如果有a*b=a*c或者b*a=c*a,则必有b=c(消去律)。" "2020/2/24" "30" "群的等价定义" "定义:满足(1),(2)及消去律且不含零元的有限代数系统是群,即满足消去律且不含零元的有限半群做成群。" "(1).运算*是封闭的 (2).运算*是可结合的" "aG ={ag|g∈G} =G" "2020/2/24" "31" "幂等元" "定义:代数系统中,如果存在a∈G,有a*a=a,则称a为幂等元。" "2020/2/24" "32" "有限半群必存在幂等元" "性质:设是一个半群,如果S是一个有限集,则必有a∈S,使得a*a=a." "思路:(构造法) b∈S,由S对*封闭及S有限,则对序列 b,b2,b3,…, bn, … 必定存在 j>i,s.t. bi=bj,令p=j-i≥1,有bj=bp*bi,即bi=bp*bi." "2020/2/24" "33" "泵原理" "" "2020/2/24" "34" "幂等元构造" "bi=bp*bi." "bi =bkp*bi" "bq=bkp*bq,其中 q =kp" "bi=bp*bi=bp*(bp*bi) =……=bp*……*bp*(bp*bi)" "bi=bkp*bi,可找到k使得kp≥i" "设a=bkp,则a*a=a" "2020/2/24" "35" "证明" "性质:设是一个半群,如果S是一个有限集,则必有a∈S,使得a*a=a." "证明:(构造法) b∈S,由S对*封闭及S有限,则对序列 b,b2,b3,…, bn, … 必定存在 j>i,s.t. bi=bj,令p=j-i≥1,有bj=bp*bi,即bi=bp*bi,且可知对任给的q≥i有bq=bp*bq。 因为p≥1,所以总可找到k≥1,s.t. kp≥i。因此对于S中的元素bkp,有bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=...= bkp*bkp. 设a=bkp,则a∈S,且a*a=a" "2020/2/24" "36" "群中元素的性质" "定理10.3 G为群,a∈G, 且|a|=r, 则 (1) ak =e ⇔ r | k (2) |a|=|a-1| (3) 若|G| = n, 则r≤n. 证(1) 充分性. ak = arl =(ar)l=el = e 必要性. k=rl+i, l∈Z, i∈{0,1,…,r-1} ⇒ e = ak = arl+i = ai ⇒ i=0 ⇒ r | k (2) (a-1)r=e ⇒ |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则t | r. 同理r | t. (3) 假设r>n, 令G’={e,a,a2, …, ar-1}, 则G’中元素两两不 同,否则与|a|=r矛盾. 从而|G’|>n,与G’⊆G矛盾." "2020/2/24" "37" "群中幂等元唯一" "例:在群中,除单位元e外,不可能有任何别的幂等元(即a*a=a) " "证:e*e=e,∴e为幂等元 现设a∈G,a≠e且a*a=a 则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e" "2020/2/24" "38" "元素的阶的性质(1)" "例: G为群,a∈G, |a|=r, 证明|at| = r/(t,r) 证: 令|at| = s, 设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q 只要证s = q (at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e  s | q (at)s= e ⇒ ats=e ⇒ r | ts ⇒ q | ps  q | s (p, q互素)" "2020/2/24" "39" "元素的阶的性质(2)" "例10.7: G为有限群,则G中阶大于2的元素有偶数个。 证: a2 = e a2 = a-1a  a = a-1,所以阶大于2的元素必有a  a-1,且成对出现。" "2020/2/24" "40" "元素乘积的阶" "例: G为群,a,b∈G且可交换, |a|=m, |b|=n,若(m,n)=1, 则|ab| = mn. 证:设|ab| = r 1) (ab)mn=e ⇒r|mn 2) e = ((ab)r)m =(ab)mr=(am)r(bmr)=bmr ⇒n|mr⇒n|r, 同理m|r," "⇒mn|r" "" "2020/2/24" "41" "元素乘积的阶(2)" "例10.6: G为群,a,b∈G是有限阶元,则: (1)|b-1ab| = |a| (2) |ab| = |ba| 证: (1)|设|a| = r, |b-1ab|=t ,则 1) (b-1ab)r= (b-1ab) (b-1ab) …… (b-1ab) = b-1arb= b-1eb=e,所以t|r,同理r|t 2) ab=b-1 (bab )" "补充材料" "模n剩余类" "2020/2/24" "43" "模n剩余类" "设Z是整数集合,n是任意正整数,Zn是由模n的同余(剩余)类组成的集合,在Zn上定义两个二元运算+m 和m: [i],[j]Zn [i]+m[j]=[(i+j) mod m] [i]m[j]=[(ij) mod m]" "eg.   (令n为素数和不为素数两种)" "" "" "" "2020/2/24" "44" "整数同余式" "定义(同余):称整数a模正整数m同余于整数b,记为a≡b(mod m)是指m|a-b, m称为模数。 m|a-ba=q1m+r且b=q2m+r,即a和b分别 除以m有相同的余数。“同余”二字的来源就在于此。" "2020/2/24" "45" "同余关系" "相对于某个固定模数m的同余关系,是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质: 自反性:对任意整数a有a≡a(mod m) 对称性:如果a≡b(mod m)则b≡a(mod m) 传递性:如果a≡b (mod m)b≡c(mod m)则a≡c(mod m) 全体整数集合Z可按模m(m>1)分成一些两两不交的等价类,称之为同余类或剩余类。" "2020/2/24" "46" "整数模m同余类共有m个,他们分别为{km+0}, {km+1}, …{km+(m-1)},其中 k∈Z,每一类都可以选一个代表元,一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。 Z模12的标准剩余系为:[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]" "同(剩)余类" "2020/2/24" "47" "对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那样相加、相减和相乘: (1) a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m) (2) a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m) 消去率:对于ab≡ac(mod m)来说,若(a,m)=1则b≡c(mod m)" "剩余类间的运算" "2020/2/24" "48" "例:通过同余式演算证明560-1是56的倍数。 解: 注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡132 ≡ 169≡1(mod56) 因此有560≡1(mod56), 即有56∣560-1。" "剩余类应用举例" "   (令n为素数和不为素数两种)" "2020/2/24" "49" "作业" "P202 2, 3,4,5, 6








































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