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 版权申诉  doc 第一节 集合一、基础知识批注——理解深一点1.集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中.(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.(3)元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为.(4)五个特定的集合及其关系图:N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.2.集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集,记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集:如果集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作AB或BA.AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B,也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等:如果A⊆B,并且B⊆A,则A=B.两集合相等:A=B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性,B中任意一个元素也符合A中元素的特性.(4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集.记作∅.0,{0},∅,{∅}之间的关系:∅≠{∅},∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}.3.集合间的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.(3)补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论汇总——规律多一点(1)子集的性质:A⊆A,∅⊆A,A∩B⊆A,A∩B⊆B.(2)交集的性质:A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(3)并集的性质:A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A.(4)补集的性质:A∪∁UA=U,A∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A,∁AA=∅,∁A∅=A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.(6)等价关系:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B.三、基础小题强化——功底牢一点(1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(  )(2){x|x≤1}={t|t≤1}.(  )(3){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(  )(4)任何一个集合都至少有两个子集.(  )(5)若AB,则A⊆B且A≠B.(  )(6)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(  )(7)若A∩B=A∩C,则B=C.(  )答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×(二)选一选1.已知集合A={x∈R|0<3-x≤2},B={x∈R|0≤x≤2},则A∪B=(  )A.[0,3]         B.[1,2]C.[0,3) D.[1,3]解析:选C 因为A={x∈R|0<3-x≤2}={x∈R|1≤x<3},所以A∪B={x∈R|0≤x<3}.2.若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下面结论中正确的是(  )A.{a}⊆A B.a⊆AC.{a}∈A D.a∉A解析:选D 因为2不是自然数,所以a∉A.3.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(  )A.9 B.8C.5 D.4解析:选A 法一:将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.法二:根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.(三)填一填4.若集合A={x|-23},则A∩B=________.解析:由集合交集的定义可得A∩B={x|-20时,因为A={x|-10},B={x|-2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为(  )A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤2}[解析] (1)∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.(2)依题意得A={x|x<-1或x>4},因此∁RA={x|-1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B={x|-1≤x≤2}.[答案] (1)C (2)D[解题技法] 集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算.(2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验.(3)集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U是大范围,去掉U中a元素,剩余元素成补集.考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},则实数m的取值范围是(  )A.(-4,3) B.[-3,4]C.(-3,4) D.(-∞,4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A={1,2,3,4},B={a+1,2a},若A∩B={4},则a=(  )A.3 B.2C.2或3 D.3或1[解析] (1)集合A={x|x<-3或x>4},∵A∩B={x|x>4},∴-3≤m≤4,故选B.(2)∵A∩B={4},∴a+1=4或2a=4.若a+1=4,则a=3,此时B={4,6},符合题意;若2a=4,则a=2,此时B={3,4},不符合题意.综上,a=3,故选A.[答案] (1)B (2)A[解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.[题组训练]1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=(  )A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}解析:选C 因为集合B={x|-10,所以该方程有两个不相等的实根,所以A∩B中含有2个元素.答案:212.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________.解析:由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},由于A⊆B,在数轴上标出集合A,B,如图所示,则a>4.答案:(4,+∞)13.设全集U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2






















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