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 版权申诉  doc 第三节函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 口诀记忆 奇偶性有特征,定义域要对称;奇函数,有中心,偶函数,有对称. 2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.并不是所有周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.[熟记常用结论]1.奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.2.周期性的4个常用结论设函数y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;(3)若f(x+a)=,则函数的周期为2a;(4)若f(x+a)=-,则函数的周期为2a.3.对称性的3个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(  )(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(  )(3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(  )(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(  )(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(  )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√二、选填题1.下列函数中为偶函数的是(  )A.y=x2sin x       B.y=x2cos xC.y=|ln x| D.y=2-x解析:选B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.下列函数为奇函数的是(  )A.y= B.y=exC.y=|x| D.y=ex-e-x解析:选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数;C选项中的函数为偶函数;D选项中的函数为奇函数,故选D.3.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是(  )A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a))解析:选B 因为(a,f(a))是函数y=f(x)图象上的点,且y=f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以点(-a,f(-a)),即(-a,-f(a))一定在y=f(x)的图象上.4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.解析:∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,∴a=.又f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.答案:5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=________.解析:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,∴f=f=f=-4×2+2=-1+2=1.答案:1考点一 [基础自学过关]函数奇偶性的判定 [题组练透]判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=(x+1) ;(2)f(x)=(3)f(x)=;(4)f(x)=loga(x+)(a>0且a≠1).解:(1)因为f(x)有意义,则满足≥0,所以-1<x≤1,所以f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.(2)法一:定义法当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数.法二:图象法作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.(3)因为所以-2≤x≤2且x≠0,所以定义域关于原点对称.又f(-x)==,所以f(-x)=f(x).故函数f(x)为偶函数.(4)函数的定义域为R,因为f(-x)+f(x)=loga[-x+]+loga(x+)=loga(-x)+loga(+x)=loga[(-x)(+x)]=loga(x2+1-x2)=loga1=0.即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.[名师微点]判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再化简解析式后验证f(-x)=±f(x)或其等价形式f(-x)±f(x)=0是否成立.(2)图象法:(3)性质法:设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.[提醒] 分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.考点二 [师生共研过关]函数奇偶性的应用 [典例精析](1)(2019·广州调研)已知函数f(x)=+a为奇函数,则实数a=________.(2)函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=x+1,则当x<0时,f(x)=________.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 017)+f(2 019)的值为________.[解析] (1)易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即+a=--a,所以2a=--=--=-1,所以a=-.(2)∵f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x+1,∴当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1,即x<0时,f(x)=x-1.(3)由题意得,g(-x)=f(-x-1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),∴f(x-1)=-f(x+1),即f(x-1)+f(x+1)=0.∴f(2 017)+f(2 019)=f(2 018-1)+f(2 018+1)=0.[答案] (1)- (2)x-1 (3)0[解题技法]与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值:利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)求函数解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)求解析式中的参数值:在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x),f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解.[过关训练]1.设f(x)-x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为(  )A.g(x)=x3       B.g(x)=cos xC.g(x)=1+x D.g(x)=xex解析:选B 因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.2.设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则g(3)的值是(  )A.1 B.3C.-3 D.-1解析:选C ∵函数f(x)=f(x)是奇函数,∴f(-3)=-f(3),∴log2(1+3)=-(g(3)+1),则g(3)=-3.故选C.3.若关于x的函数f(x)=(t≠0)的最大值为a,最小值为b,且a+b=2,则t=________.解析:f(x)==t+,设g(x)=,则g(x)为奇函数,g(x)max=a-t,g(x)min=b-t.∵g(x)max+g(x)min=0,∴a+b-2t=0,即2-2t=0,解得t=1.答案:1考点三 [师生共研过关]函数的周期性 [典例精析](1)已知函数f(x)=如果对任意的n∈N*,定义fn(x)=,那么f2 019(2)的值为(  )A.0 B.1C.2 D.3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 019)=________.[解析] (1)∵f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,∴fn(2)的值具有周期性,且周期为3,∴f2 019(2)=f3×673(2)=f3(2)=2,故选C.(2)∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期T=2,∵当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,∴f(0)=0,f(1)=1,∴f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2 018)=0,f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 019)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 019)=1 010.[答案] (1)C (2)1 010[解题技法]函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.(2)周期函数的图象具有周期性,如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意:对称中心在平行于x轴的直线上,对称轴平行于y轴),那么这个函数一定具有周期性.[过关训练]1.[口诀第2句]已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)等于(  )A.-2 B.-1C.0 D.2解析:选D 当x>时,f=f,即周期为1,则f(6)=f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.2.[口诀第3、4句]已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(  )A.6 B.7C.8 D.9解析:选B 当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合要求.综上可知,共有7个交点.3.[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则下列不等式正确的是(  )A.f(log27)<f(-5)<f(6)B.f(log27)<f(6)<f(-5)C.f(-5)<f(log27)<f(6)D.f(-5)<f(6)<f(log27)解析:选C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(1+x)=f(1-x),f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(6)=f(2)=f(0)=0.于是,结合题意可画出函数f(x)在[-2,4]上的大致图象,如图所示.又2<log27<3,所以结合图象可知-1<f(log27)<0,故f(-5)<f(log27)<f(6),故选C.考点四 [全析考法过关]函数性质的综合应用 [考法全析]考法(一) 单调性与奇偶性综合[例1] (2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)单调递增,f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为(  )A.{x|0<x<1或x>2}  B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<-1或x>1}[解析] 因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=0,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以可作出函数f(x)的示意图,如图,则不等式f(x-1)>0可转化为-1<x-1<0或x-1>1,解得0<x<1或x>2,故选A.[答案] A考法(二) 奇偶性与周期性综合[例2] (2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1,f(7)=a,则实数a的取值范围为(  )A.(-∞,-3) B.(3,+∞)C.(-∞,-1) D.(1,+∞)[解析] ∵f(x+3)=f(x),∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数,∴f(7)=f(7-9)=f(-2).又∵函数f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),∴f(7)=f(2)>1,∴a>1,即a∈(1,+∞).故选D.[答案] D考法(三) 单调性、奇偶性与周期性结合[例3] (2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在[-1,0]上单调递减,设a=f(-2.8),b=f(-1.6),c=f(0.5),则a,b,c的大小关系是(  )A.a>b>c B.c>a>bC.b>c>a D.a>c>b[解析] ∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),∴函数的周期为2.∴a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),c=f(0.5)=f(-0.5).∵-0.8<-0.5<-0.4,且函数f(x)在[-1,0]上单调递减,∴a>c>b,故选D.[答案] D[规律探求]看个性 考法(一)是已知函数单调递增且为奇函数,求自变量范围,有时也比较大小,常利用奇、偶函数图象的对称性;考法(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数,求函数值的范围,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;考法(三)是函数周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解 找共性 对于函数性质结合的题目,函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题 [过关训练]1.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  )A.-50          B.0C.2 D.50解析:选C ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(x-1).由f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数得f(0)=0.又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0.又f(1)=2,∴f(-1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则f(x)在[1,3]上是(  )A.增函数 B.减函数C.先增后减的函数 D.先减后增的函数解析:选D 根据题意,∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数,在[-1,0]上是减函数,∴函数f(x)在[0,1]上是增函数,∴函数f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,3]上是增函数,∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数,故选D.3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是________.解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-)=f(),∴f(2|a-1|)>f(),∴2|a-1|<=2,∴|a-1|<,即-<a-1<,即<a<.答案:一、题点全面练1.(2018·天水一模)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的为(  )A.y=x+1        B.y=-x2C.y= D.y=x|x|解析:选D 对于A,y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.对于B,y=-x2是偶函数,不满足条件.对于C,y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.对于D,设f(x)=x|x|,则f(-x)=-x|x|=-f(x),则函数为奇函数,当x>0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,当x≤0时,y=x|x|=-x2,此时为增函数,综上,y=x|x|在R上为增函数.故选D.2.设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)=(  )A.- B.C.2 D.-2解析:选B 由已知得f(-)=f()=log2=.故选B.3.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f的值为(  )A. B.C.- D.-解析:选A ∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)的周期为2.∴f=f=f=2××=.4.(2018·佛山一模)已知f(x)=2x+为奇函数,g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则f(ab)=(  )A. B.C.- D.-解析:选D 根据题意,f(x)=2x+为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即+=0,解得a=-1.g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则g(x)=g(-x),即bx-log2(4x+1)=b(-x)-log2(4-x+1),解得b=1,则ab=-1,所以f(ab)=f(-1)=2-1-=-.5.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则(  )A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)解析:选A ∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2).又∵任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.又∵1<2<3,∴f(1)>f(2)=f(-2)>f(3),故选A.6.已知函数f(x)=asin x+bln+t,若f+f=6,则实数t=(  )A.-2 B.-1C.1 D.3解析:选D 令g(x)=asin x+bln,易知g(x)为奇函数,所以g+g=0,则由f(x)=g(x)+t,得f+f=g+g+2t=2t=6,解得t=3.故选D.7.(2019·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=3x-1,则f=(  )A.+1 B.-1C.--1 D.-+1解析:选D 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f(x+2)=f(x)=-f(-x),所以f=f=f=-f=-f.又当x∈(0,1)时,f(x)=3x-1,所以f=-1,f=-+1.8.已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是(  )A. B.C.(1,3) D.解析:选A ∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,∴-1<x<1,f(-x)=-f(x),∴f(m-2)+f(2m-3)>0可转化为f(m-2)>-f(2m-3),即f(m-2)>f(-2m+3).∵f(x)是减函数,∴∴1<m<.9.(2019·洛阳第一次统考)若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则实数a=________.解析:法一:(定义法)∵函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,∴f(-x)=f(x),即ln(e-x+1)-ax=ln(ex+1)+ax,∴2ax=ln(e-x+1)-ln(ex+1)=ln=ln=-x,∴2a=-1,解得a=-.法二:(取特殊值)由题意知函数f(x)的定义域为R,由f(x)为偶函数得f(-1)=f(1),∴ln(e-1+1)-a=ln(e1+1)+a,∴2a=ln(e-1+1)-ln(e1+1)=ln=ln=-1,∴a=-.答案:-10.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x<1时,f(x)=2x-1,则f+f(1)+f+f(2)+f=________.解析:依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,则f(1)+f(-1)=0,f(-1)=f(1),即f(1)=0.∴f+f(1)+f+f(2)+f=f+0+f+f(0)+f=f-f+f(0)+f=f+f(0)=2-1+20-1=-1.答案:-1二、专项培优练(一)技法专练——活用快得分1.[巧用性质]已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于(  )A.0 B.2C.4 D.8解析:选C f(x)==2+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x)(x∈R),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.2.[巧用性质]设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围为________.解析:由已知得函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),由f(x)>f(2x-1),可得f(|x|)>f(|2x-1|).当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,因为y=ln(1+x)与y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(|x|)>f(|2x-1|),可得|x|>|2x-1|,两边平方可得x2>(2x-1)2,整理得3x2-4x+1<0,解得<x<1.所以x的取值范围为.答案:3.[数形结合]已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,作出f(x)的图象如图所示,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].(二)素养专练——学会更学通4.[逻辑推理]奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(  )A.-2 B.-1C.0 D.1解析:选D 由函数f(x+2)为偶函数可得,f(2+x)=f(2-x).又f(-x)=-f(x),故f(2-x)=-f(x-2),所以f(2+x)=-f(x-2),即f(x+4)=-f(x).所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),故该函数是周期为8的周期函数.又函数f(x)为奇函数,故f(0)=0.所以f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=0+1=1.5.[逻辑推理]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(  )A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)解析:选D ∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).6.[数学运算]定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)的值等于(  )A.403 B.405C.806 D.809解析:选B 定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),即函数f(x)的周期为5.当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.所以f(1)+f(2)+…+f(2 019)=403×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)=403×1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=403+0+1+1+0=405.7.[数学运算]设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.


































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