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(通用版)2020高考数学一轮复习 25 二次函数与幂函数讲义 理

 版权申诉  doc 第五节二次函数与幂函数1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象 排列特点:第一象限内,在直线x=1右侧,其指数越大,图象越高,即“指大图高”. 图象规律:幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.图象若与坐标轴有交点,一定交于坐标原点. 三点注意:(1)当α<0时,函数图象与坐标轴没有交点,类似于y=x-1的图象,且在第一象限内,逆时针方向指数在增大;(2)当0<α<1时,函数图象倾向x轴,类似于y=x的图象;(3)当α>1时,函数图象倾向y轴,类似于y=x3的图象,且在第一象限内,逆时针方向指数在增大. (3)幂函数的性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义;②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.对于形如f(x)=x(其中m∈N*,n∈Z,m与n互质)的幂函数:(1)当n为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于y轴对称;(2)当m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称;(3)当m为偶数时,x>0(或x≥0),f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限及原点处).2.二次函数(1)二次函数解析式的3种形式①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象(抛物线)   定义域 R 值域   对称轴 x=- 顶点坐标  奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数;在上是增函数 在上是增函数;在上是减函数 [熟记常用结论]关于二次函数的几个常用结论(1)关于函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0),x∈[p,q]的最值问题若h∈[p,q],则x=h时有最小值k,最大值是f(p)与f(q)中较大者;若h∉[p,q],则f(p),f(q)中较小者为最小值,较大者为最大值.(2)根的分布问题设函数y=ax2+bx+c(a≠0),若对区间[a,b]有f(a)≥0,f(b)≤0,则曲线必与x轴相交(至少有一个交点,且交点必在[a,b]上).设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根,根的分布对照y=ax2+bx+c(a>0)的图象,知其等价不等式组的关系是:①若x1<x2<m,则②若m<x1<x2,则③若x1<m<x2,则④若x1,x2∈(m1,m2),则⑤若x1,x2有且仅有一个在(m1,m2)内,则[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=2x是幂函数.(  )(2)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(  )(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(  )(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.(  )(5)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(  )答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√二、选填题1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则f(2)=(  )A.         B.4C. D.解析:选C 设f(x)=xα,∵图象过点,∴f(4)=4α=,解得α=-,∴f(2)=2=.故选C.2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是(  )A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c解析:选B 根据幂函数的性质及图象知选B.3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是(  )A. B.C. D.解析:选C ∵函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,∴解得a>.4.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为________.解析:∵f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴m=2.答案:25.已知f(x)=4x2-mx+5在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.解析:因为函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为,所以≤2,即m≤16.答案:(-∞,16]考点一 [基础自学过关]幂函数的图象与性质 [题组练透]1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)=(  )A.3         B.1-C.-1 D.1解析:选C 设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即α=,所以f(x)=x=,所以f(2)-f(1)=-1,故选C.2.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为(  )A.-2 B.1C.1或-2 D.m≠解析:选B 因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以解得m=1.3.幂函数y=x (m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(  )A.-1 B.0C.1 D.2解析:选C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-3<0,即-1<m<3;又从图象看,函数是偶函数,故m2-2m-3为负偶数,将m=0,1,2分别代入,可知当m=1时,m2-2m-3=-4,满足要求.4.已知a=3,b=4,c=12,则a,b,c的大小关系为(  )A.b<a<c B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b解析:选C 因为a=81,b=16,c=12,由幂函数y=x在(0,+∞)上为增函数,知a>b>c,故选C.5.若(a+1)<(3-2a),则实数a的取值范围是________.解析:易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以解得-1≤a<.答案:[名师微点](1)幂函数y=xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”,图象都过点(1,1).它们的单调性要牢记第一象限的图象特征:当α>0时,第一象限图象是上坡递增;当α<0时,第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,既不同底又不同次数的幂函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.考点二 [师生共研过关]求二次函数的解析式 [典例精析]已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式.[解] 法一:(利用二次函数的一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得故所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.法二:(利用二次函数的顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x==.∴m=,又根据题意函数有最大值8,∴n=8,∴y=f(x)=a2+8.∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.法三:(利用二次函数的零点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即=8.解得a=-4或a=0(舍去),故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.[解题技法]求二次函数解析式的策略[过关训练]1.已知二次函数f(x)是偶函数,且f(4)=4f(2)=16,则函数f(x)的解析式为____________.解析:由题意可设函数f(x)=ax2+c(a≠0),则f(4)=16a+c=16,4f(2)=4(4a+c)=16a+4c=16,所以a=1,c=0,故f(x)=x2.答案:f(x)=x22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.解析:设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+13.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.解:∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,∴f(x)的对称轴为x=2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1.∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.考点三 [全析考法过关]二次函数的性质及应用 [考法全析]考法(一) 二次函数的单调性问题[例1] (1)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是(  )A.[-3,0)        B.(-∞,-3]C.[-2,0] D.[-3,0](2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是(  )A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)>f(cx) D.与x有关,不确定[解析] (1)当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足题意.当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,由f(x)在[-1,+∞)上递减知解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].(2)由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.[答案] (1)D (2)A考法(二) 二次函数的最值问题[例2] 若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为________.[解析] f(x)=a(x+1)2+1-a.①当a=0时,函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;②当a>0时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;③当a<0时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,最大值为f(1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意,舍去.综上可知,a的值为.[答案] 考法(三) 二次函数中的恒成立问题[例3] 已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是________.[解析] f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).[答案] (-∞,-1)[规律探求]看个性 考法(一)是研究二次函数的单调性问题,二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.考法(二)是研究二次函数的最值问题.对于含参数的二次函数最值问题,无论对称轴还是区间含有参数,都把对称轴看作静止不动的参照物,即“动兮定兮对称轴,看作静止参照物”,然后利用十字法求解即可.考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆运用,最终转化为最值问题求解 找共性 解决二次函数性质问题应注意的两个关键(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,要注意分类讨论.(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题 [过关训练]1.[口诀第1、2、3句]若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为(  )A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,2)解析:选A 二次函数y=kx2-4x+2的对称轴为x=,当k>0时,要使函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需≤1,解得k≥2.当k<0时,<0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2,+∞).2.[口诀第1、2句]已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为(  )A. B.C. D.1解析:选D 设x<0,则-x>0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2,又∵f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=(x+1)2,∴该函数在上的最大值为1,最小值为0,依题意,n≤f(x)≤m恒成立,则n≤0,m≥1,即m-n≥1,故m-n的最小值为1.3.[口诀第4、5句]设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1.当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.综上可知,f(x)min=一、题点全面练1.幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是(  )A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数解析:选D 设幂函数的解析式为y=xα,将(3,)代入解析式得3α=,解得α=,所以y=x.故选D.2.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(  )解析:选D 由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除A、C.又f(0)=c<0,所以排除B,故选D.3.二次函数f(x)的图象如图所示,则f(x-1)>0的解集为(  )A.(-2,1)B.(0,3)C.(-1,2]D.(-∞,0)∪(3,+∞)解析:选B 根据f(x)的图象可得f(x)>0的解集为{x|-1<x<2},而f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位得到的,故f(x-1)>0的解集为(0,3).故选B.4.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(  )A.a<b<c        B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c解析:选D ∵y=x (x>0)是增函数,∴a=>b=.∵y=x是减函数,∴a=<c=,∴b<a<c.5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且2是f(x)的一个零点,-1是f(x)的一个极小值点,那么不等式f(x)>0的解集是(  )A.(-4,2) B.(-2,4)C.(-∞,-4)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(4,+∞)解析:选C 依题意,f(x)图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)=a(x+4)(x-2)(a>0),于是f(x)>0,解得x>2或x<-4.6.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f,b=f(ln π),c=f,则a,b,c的大小关系为(  )A.c<a<b B.a<b<cC.b<c<a D.b<a<c解析:选A 根据题意,m-1=1,∴m=2,∴2n=8,∴n=3,∴f(x)=x3.∵f(x)=x3是定义在R上的增函数,又-<0<<0=1<ln π,∴c<a<b.7.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是________.解析:由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图),若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4.答案:[0,4]8.若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为________.解析:∵函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2的图象的对称轴为直线x=1,且f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,∴当a≥1时,f(a)=(a-1)2=4,∴a=-1(舍去)或a=3;当a+2≤1,即a≤-1时,f(a+2)=(a+1)2=4,∴a=1(舍去)或a=-3;当a<1<a+2,即-1<a<1时,f(1)=0≠4.故a的取值集合为{-3,3}.答案:{-3,3}9.已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解:(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称,设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0),由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1,a>0,根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,∴|x1-x2|== =2,解得a=1,∴f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.∴g(x)图象的对称轴方程为x=,则≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].10.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,∴f(x)=(x+1)2,∴F(x)=∴F(2)+F(-2)=(2+1)2-(-2+1)2=8.(2)由题可知,f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2,∴-2≤b≤0,故b的取值范围是[-2,0].二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有(  )A.f(p+1)>0 B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0 D.f(p+1)的符号不能确定解析:选A 由题意知,f(0)=c>0,函数图象的对称轴为直线x=-,则f(-1)=f(0)>0,设f(x)=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),则-1<x1<x2<0,根据图象知,x1<p<x2,故p+1>0,则f(p+1)>0.2.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·x(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(  )A.-3 B.1C.2 D.1或2解析:选B 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,当n=1时,函数f(x)=x-2为偶函数,其图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以n=1满足题意;当n=-3时,函数f(x)=x18为偶函数,其图象关于y轴对称,而f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以n=-3不满足题意,舍去.故选B.3.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为(  )A.[-,] B.[1,]C.[2,3] D.[1,2]解析:选B 由于函数f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t,函数f(x)=x2-2tx+1在区间(-∞,1]上单调递减,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,0距对称轴x=t最远,故要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只要f(0)-f(t)≤2即可,即1-(t2-2t2+1)≤2,求得-≤t≤.再结合t≥1,可得1≤t≤.故选B.4.若函数f(x)=x2+2ax+2在区间[-5,5]上是单调函数,则实数a的取值范围为________.解析:函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为直线x=-a,因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,所以-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.故实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).答案:(-∞,-5]∪[5,+∞)5.已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是________.解析:Δ=4(a-2)2-4a=4a2-20a+16=4(a-1)(a-4).(1)若Δ<0,即1<a<4时,x2-2(a-2)x+a>0在R上恒成立,符合题意;(2)若Δ=0,即a=1或a=4时,方程x2-2(a-2)x+a>0的解为x≠a-2,显然当a=1时,不符合题意,当a=4时,符合题意;(3)当Δ>0,即a<1或a>4时,因为x2-2(a-2)x+a>0在(-∞,1)∪(5,+∞)上恒成立,所以解得3<a≤5,又a<1或a>4,所以4<a≤5.综上,a的取值范围是(1,5].答案:(1,5](二)技法专练——活用快得分6.[更换主元法]对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围是(  )A.(1,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)解析:选B 原题可转化为关于a的一次函数y=a(x-2)+x2-4x+4>0在[-1,1]上恒成立,只需⇒⇒x<1或x>3.故选B.7.[分离参数法]方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为(  )A. B.(1,+∞)C. D.解析:选C 方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解转化为方程a=在区间[1,5]上有解,即y=a与y=的图象有交点,又因为y==-x在[1,5]上是减函数,所以其值域为,故选C.(三)难点专练——适情自主选8.函数f(x)=-x2+3x+a,g(x)=2x-x2,若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是(  )A.[-e,+∞) B.[-ln 2,+∞)C.[-2,+∞) D.解析:选C 如图所示,在同一坐标系中画出y=x2+1,y=2x,y=x2+的图象,由图象可知,在[0,1]上,x2+1≤2x<x2+恒成立,即1≤2x-x2<,当且仅当x=0或x=1时等号成立,∴1≤g(x)<,∴f(g(x))≥0⇒f(1)≥0⇒-1+3+a≥0⇒a≥-2,即实数a的取值范围是[-2,+∞),故选C.9.定义:如果在函数y=f(x)定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,如y=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是________.解析:因为函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数,设x0为均值点,所以=m=f(x0),即关于x0的方程-x+mx0+1=m在(-1,1)内有实数根,解方程得x0=1或x0=m-1.所以必有-1<m-1<1,即0<m<2,所以实数m的取值范围是(0,2).答案:(0,2)


































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