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 版权申诉  doc 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念,了解它们的侧面展开图.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式,并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积.知识点 直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积几何体 侧面积公式 表面积(全面积) 直棱柱 S直棱柱侧=ch 棱柱、棱锥、棱台的表面积=侧面积+底面积 正棱锥 S正棱锥侧=ch′ 正棱台 S正棱台侧=(c+c′)h′ 圆柱 S圆柱侧=2πRh 圆锥 S圆锥侧=πRl 球 S球=4πR2 其中c′,c分别表示上、下底面周长,h表示高,h′表示斜高,R表示球的半径.1.多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )2.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长.( × )3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( × )类型一 柱、锥、台的侧(表)面积命题角度1 多面体的侧(表(面积例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.解 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56.∵该直四棱柱的底面是菱形,∴AB2=2+2===64,∴AB=8.∴直四棱柱的侧面积为4×8×5=160.反思与感悟 多面体表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和,底面积根据平面几何知识求解,求侧面积的关键是求斜高和底面周长.(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等,往往可以构成直角三角形(或梯形),利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键.跟踪训练1 已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面面积之和,则该正四棱台的高是(  )A.2 B. C.3 D.答案 A解析 如图,E、E1分别是BC、B1C1的中点,O、O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,连接OE、O1E1,作E1H∥O1O,由题意,得×4=9+36,∴EE1=,在Rt△EHE1中,E1H2=EE-EH2=-=4,∴E1H=2,∴O1O=2,故选A.命题角度2 圆柱与圆锥的侧(表(面积例2 (1)若圆锥的母线长为2 cm,底面圆的周长为2π cm,则圆锥的表面积为________ cm2.答案 3π解析 因为底面圆的周长为2π cm,所以底面圆的半径为1 cm,所以圆锥的底面积为π cm2,圆锥的侧面积为×2×2π=2π(cm2),所以圆锥的表面积为3π cm2.(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等.若圆柱的底面半径为r,圆柱的侧面积为S,则圆锥的侧面积为________.答案 解析 设圆柱的高为h,则2πrh=S,∴h=.设圆锥的母线为l,∴l== .∴圆锥的侧面积为πrl=πr =.反思与感悟 由圆柱、圆锥的侧面积公式可知,要求其侧面积,必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长.跟踪训练2 轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的(  )A.4倍 B.3倍 C.倍 D.2倍答案 D解析 设圆锥底面半径为r,由题意知母线长l=2r,则S侧=πr×2r=2πr2,∴==2.类型二 简单组合体的表面积例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示(单位:m),请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布?(精确到0.01 m2)解 上部分圆锥体的母线长为 m,其侧面积为S1=π××(m2).下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8(m2).∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S=S1+S2=π××+π×5×1.8≈50.05(m2).反思与感悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题,首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成,然后再根据条件求各个简单组合体的基本量,注意方程思想的应用.(2)在实际问题中,常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料,如何节省原材料等,在求解时应结合实际,明确实际物体究竟是哪种几何体,哪些面计算在内,哪些面实际没有.跟踪训练3 有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,求a的取值范围.解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱,有四种情况:四棱柱有一种,边长为5a的边重合在一起,表面积为24a2+28.三棱柱有三种,边长为4a的边重合在一起,表面积为24a2+32;边长为3a的边重合在一起,表面积为24a2+36;两个相同的直三棱柱竖直放在一起,表面积为12a2+48.最小的是一个四棱柱,即24a2+28<12a2+48,即a2<,又a>0,∴0






















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