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浙江专版2017-2018学年高中数学第二章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修4

 版权申诉  doc 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义预习课本P103~105,思考并完成以下问题(1)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?(2)向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?(3)向量数量积的性质有哪些?(4)向量数量积的运算律有哪些?1.向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积:已知条件 向量a,b是非零向量,它们的夹角为θ 定义 a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ 记法 a·b=|a||b|cos θ (2)零向量与任一向量的数量积:规定:零向量与任一向量的数量积均为0.[点睛] (1)两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.(2)两个向量的数量积记作a·b,千万不能写成a×b的形式.2.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念:①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.[点睛] (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角),也可以写成.(2)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零.3.向量数量积的性质设a与b都是非零向量, θ为a与b的夹角.(1)a⊥b⇔a·b=0.(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b=-|a||b|.(3)a·a=|a|2或|a|==.(4)cos θ=.(5)|a·b|≤|a||b|.[点睛] 对于性质(1),可以用来解决有关垂直的问题,即若要证明某两个向量垂直,只需判定它们的数量积为0;若两个非零向量的数量积为0,则它们互相垂直.4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律:若a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,但得不到a=b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量.(  )(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.(  )(3)若a,b反向,则a·b=-|a||b|.(  )(4)若a·b=0,则a⊥b.(  )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×2.若|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°,则a·b=(  )A.2           B.C.1 D.答案:B3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,则a与b的夹角为(  )A.60° B.120°C.135° D.150°答案:B4.已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3.(1)若θ=135°,则a·b=________;(2)若a∥b,则a·b=________;(3)若a⊥b,则a·b=________.答案:(1)-3 (2)6或-6 (3)0 向量数量积的运算 [典例] (1)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:①a·b; ②(a+b)·(a-2b).(2)如图,正三角形ABC的边长为,=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a.[解] (1)①由已知得a·b=|a||b|cos θ=4×2×cos 120°=-4.②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.(2)∵|a|=|b|=|c|=,且a与b,b与c,c与a的夹角均为120°,∴a·b+b·c+c·a=××cos 120°×3=-3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.[活学活用]已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).解:(1)a·b=|a||b|cos 120°=3×4×=-6.(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|·cos 120°-3|b|2=2×32+5×3×4×-3×42=-60. 与向量的模有关的问题 [典例] (1)(浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.(2)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.[解析] (1)令e1与e2的夹角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ=.又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.∵b·(e1-e2)=0,∴b与e1,e2的夹角均为30°,∴b·e1=|b||e1|cos 30°=1,从而|b|==.(2)∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos 45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.[答案] (1) (2)3求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.[活学活用]已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,求|a+b|,|a-b|,|2a+b|.解:∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos 60°=50+2×5×5×=75,∴|a+b|=5.∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)=|a|2+|b|2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos 60°=25,∴|a-b|=5.∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)=4|a|2+|b|2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos 60°=175,∴|2a+b|=5. 两个向量的夹角和垂直 题点一:求两向量的夹角1.(重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(  )A.          B.C. D.解析:选C ∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,∴2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=-,∴〈a,b〉=.题点二:证明两向量垂直2.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).题点三:利用夹角和垂直求参数3.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直,则k的值为(  )A.- B.C.± D.1解析:选B ∵3a+2b与ka-b互相垂直,∴(3a+2b)·(ka-b)=0,∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.∵a⊥b,∴a·b=0,又|a|=2,|b|=3,∴12k-18=0,k=.求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=,最后借助θ∈[0,π],求出θ的值.(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos θ的值.层级一 学业水平达标1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为(  )A. B.C. D.解析:选C 由题意,知a·b=|a||b|cos θ=4cos θ=2,又0≤θ≤π,所以θ=.2.已知|b|=3,a在b方向上的投影为,则a·b等于(  )A.3 B.C.2 D.解析:选B 设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θ=,∴a·b=|a||b|cos θ=3×=.3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为(  )A.-6 B.6C.3 D.-3解析:选B ∵c·d=0,∴(2a+3b)·(ka-4b)=0,∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,∴2k=12,∴k=6.4.已知a,b满足|a|=4,|b|=3,夹角为60°,则|a+b|=(  )A.37 B.13C. D.解析:选C |a+b|====.5.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是(  )A.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形解析:选B ∵=,即一组对边平行且相等,·=0,即对角线互相垂直,∴四边形ABCD为菱形.6.给出以下命题:①若a≠0,则对任一非零向量b都有a·b≠0;②若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;③a与b是两个单位向量,则a2=b2.其中,正确命题的序号是________.解析:上述三个命题中只有③正确,因为|a|=|b|=1,所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故a2=b2.当非零向量a,b垂直时,有a·b=0,显然①②错误.答案:③7.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.解析:(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e+7e1·e2-2e=-6+7×cos 60°-2=-.答案:-8.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为________.解析:∵c⊥a,∴c·a=0,∴(a+b)·a=0,即a2+a·b=0.∵|a|=1,|b|=2,∴1+2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=-.又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.答案:120°9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1,求a与b的夹角.解:因为|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=1×1×cos 60°=,|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1·e2=7,故|a|=,|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1·e2=7,故|b|=,且a·b=-6e+2e+e1·e2=-6+2+=-,所以cos〈a,b〉===-,所以a与b的夹角为120°.10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角θ;(2)求(a-2b)·b;(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?解:(1)∵|a|=2|b|=2,∴|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影为|a|cos θ=-1,∴a·b=|a||b|cos θ=-1.∴cos θ=-,∴θ=.(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)∵λa+b与a-3b互相垂直,∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ=.层级二 应试能力达标1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则向量m=a-4b的模为(  )A.2           B.2C.6 D.12解析:选B |m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×+16=12,所以|m|=2.2.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·等于(  )A.-16 B.-8C.8 D.16解析:选D 法一:因为cos A=,故·=||·||cos A=||2=16,故选D.法二:在 上的投影为||cos A=||,故·=||||cos A=||2=16,故选D.3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|=(  )A.1 B.C. D.3解析:选C 由于投影相等,故有|a|cos〈a,b〉=|b|cos〈a,b〉,因为|a|=1,|b|=2,所以cos〈a,b〉=0,即a⊥b,则|a-b|==.4.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为BC的中点,则·=(  )A.-3 B.0C.-1 D.1解析:选C ·=·(-)=·-||2+||2=×2×2×cos 60°-22+×22=-1.5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.解析:法一:由a+b+c=0得c=-a-b.又(a-b)·c=0,∴(a-b)·(-a-b)=0,即a2=b2.则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.法二:如图,作==a,=b,则=c.∵a⊥b,∴AB⊥BC,又∵a-b=-=,(a-b)⊥c,∴CD⊥CA,所以△ABC是等腰直角三角形,∵|a|=1,∴|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.答案:46.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·(2a-3b)=12,则|b|=________;b在a方向上的投影等于________.解析:·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=12,即3|b|2-|b|-4=0,解得|b|=(舍负),b在a方向上的投影是|b|cos 45°=×=1.答案: 17.已知非零向量a,b,满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.(1)求向量a,b的夹角;(2)求|a-b|.解:(1)∵(a-b)·(a+b)=,∴a2-b2=,即|a|2-|b|2=.又|a|=1,∴|b|=.∵a·b=,∴|a|·|b|cos θ=,∴cos θ=,∴向量a,b的夹角为45°.(2)∵|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2=,∴|a-b|=.8.设两个向量e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解:由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得<0.即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化简即得2t2+15t+7<0,解得-7
























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