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(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例 第1节 随机抽样学案 理 新人教B版

 版权申诉  doc 第1节 随机抽样最新考纲 1.理解随机抽样的必要性和重要性;2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.简单随机抽样(1)定义:从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本,如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.(3)应用范围:总体中的个体数较少.2.系统抽样(1)定义:当总体数量很大时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样.(2)系统抽样的操作步骤第一步编号:先将总体的N个个体编号;第二步分段:确定分段间隔k,对编号进行分段,当(n是样本容量)是整数时,取k=;第三步确定首个个体:在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号s(s≤k);第四步获取样本:按照一定的规则抽取样本,通常是将s加上间隔k得到第2个个体编号(s+k),再加k得到第3个个体编号(s+2k),依次进行下去,直到获取整个样本.(3)应用范围:总体中的个体数较多.3.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫做层,在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样,这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.[常用结论与微点提醒]1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n,总体容量为N,每个个体被抽到的概率是.2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.(  )(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.(  )(3)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(  )(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.(  )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(教材习题改编)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是(  )A.总体 B.个体C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本解析 由题目条件知,5 000名居民的阅读时间的全体是总体;其中1名居民的阅读时间是个体;从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是200.答案 A3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是(  )A.抽签法 B.系统抽样法C.分层抽样法 D.随机数法解析 因为总体由有明显差异的几部分构成,所以用分层抽样法.故选C.答案 C4.从2 017名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛,若采用以下方法选取:先用简单随机抽样法从2 017名学生中剔除17名学生,剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取,则每名学生入选的概率(  )A.不全相等 B.均不相等C.都相等,且为 D.都相等,且为解析 从N个个体中抽取M个个体,则每个个体被抽到的概率都等于.答案 C5.从300名学生(其中男生180人,女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛,则应该抽取男生人数为________.解析 因为男生与女生的比例为180∶120=3∶2,所以应该抽取男生人数为50×=30.答案 30考点一 简单随机抽样及其应用【例1】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(  )①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A.0 B.1 C.2 D.3(2)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )A.08 B.07 C.02 D.01解析 (1)①不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样;③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.(2)从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01.答案 (1)A (2)D规律方法 1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中,逐个不放回地抽取样本,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.2.一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是号签是否易搅匀,一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于总体中个体数较多的情形:随机数表法的操作要点:编号,选起始数,读数,获取样本.【训练1】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是(  )A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验(2)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为(  )A. B. C. D.解析 (1)选项A,B是系统抽样,C项是分层抽样,D是简单随机抽样.(2)依题意,得=,解之得n=28.故每个个体在抽样过程中被抽到的概率P==.答案 (1)D (2)C考点二 系统抽样及其应用【例2】 (1)(2018·安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33~48这16个数中抽到的数是39,则在第1小组1~16中随机抽到的数是(  )A.5 B.7 C.11 D.13(2)(2018·长沙雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示:若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.解析 (1)把800名学生分成50组,每组16人,各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组.所以第1组抽到的数为39-32=7.(2)依题意,可将编号为1~35号的35个数据分成7组,每组有5个数据,从每组中抽取一人.成绩在区间[139,151]上共有20个数据,分在4个小组内,每组抽取1人,共抽取4人.答案 (1)B (2)4规律方法 1.如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为k=,否则,可随机地从总体中剔除余数,然后按系统抽样的方法抽样,特别注意,每个个体被抽到的机会均是.2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列,首项就是第1组所抽取样本的号码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.【训练2】 (1)(2018·郑州模拟)为规范学校办学,某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是(  )A.13 B.19 C.20 D.51(2)(2018·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班,学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到30,现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查,若抽到的编号之和为75,则抽到的最小的编号为________.解析 (1)由系统抽样的原理知,抽样的间隔为52÷4=13,故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+13×2,7+13×3,即7号,20号,33号,46号.∴样本中还有一位同学的编号为20.(2)系统抽样的抽取间隔为=6.设抽到的最小编号为x,则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)+(24+x)=75,所以x=3.答案 (1)C (2)3考点三 分层抽样及其应用【例3】 (1)(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:人).篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为________.解析 (1)因为样本容量n=60,样本总体N=200+400+300+100=1 000,所以抽取比例为==.因此应从丙种型号的产品中抽取300×=18(件).(2)由分层抽样得=,解得a=30.答案 (1)18 (2)30规律方法 1.分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是:层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠.2.进行分层抽样的相关计算时,常用到的两个关系(1)=;(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.【训练3】 (1)(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为(  )类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A.90 B.100 C.180 D.300(2)(2018·唐山调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.解析 (1)设该样本中的老年教师人数为x,由题意及分层抽样的特点得=,故x=180.(2)由题设,抽样比为=.设甲设备生产的产品为x件,则=50,∴x=3 000.故乙设备生产的产品总数为4 800-3 000=1 800.答案 (1)C (2)1 800基础巩固题组(建议用时:25分钟)一、选择题1.为了了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(  )A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.系统抽样解析 不同的学段在视力状况上有所差异,所以应该按照学段分层抽样.答案 C2.(2018·呼和浩特质检)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为(  )A.50 B.40 C.25 D.20解析 根据系统抽样的特点分段间隔为=25.答案 C3.下列抽样试验中,适合用抽签法的为(  )A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验解析 因为A,D中总体的个体数较大,不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法;B中总体容量和样本容量都较小,且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.答案 B4.(一题多解)(2018·青岛测试)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为(  )A.100 B.150 C.200 D.250解析 法一 由题意可得=,解得n=100.法二 由题意,抽样比为=,总体容量为3 500+1 500=5 000,故n=5 000×=100.答案 A5.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则(  )A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3解析 由随机抽样的知识知,三种抽样中,每个个体被抽到的概率都相等,故选D.答案 D6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(  )A.134石 B.169石C.338石 D.1 365石解析 由随机抽样的含义,该批米内夹谷约为×1 534≈169(石).答案 B7.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为(  )A.700 B.669C.695 D.676解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,分段间隔数k===20,由题意知抽出的这些号码是以15为首项,20为公差的等差数列,则抽取的第35个编号为15+(35-1)×20=695.答案 C8.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(  )A.101 B.808C.1 212 D.2 012解析 甲社区每个个体被抽到的概率为=,样本容量为12+21+25+43=101,所以四个社区中驾驶员的总人数N==808.答案 B二、填空题9.某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.解析 设男生抽取x人,则有=,解得x=25.答案 2510.(2018·武汉调研)从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本,若编号为28的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为________.解析 由系统抽样知,抽样间隔k==16,因为样本中含编号为28的产品,则与之相邻的产品编号为12和44.故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,76,即最大编号为76.答案 7611.在距离央视春晚直播不到20天的时候,某媒体报道,由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》节目被毙,为此,某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查,得到如下数据:网民态度 支持 反对 无所谓 人数(单位:人) 8 000 6 000 10 000 若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈,则持“支持”态度的网民抽取的人数为________.解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为48×=48×=16.答案 1612.从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为________.解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1=7,a2=32,d=25,所以7+25(n-1)≤500,所以n≤20,最大编号为7+25×19=482.答案 482能力提升题组(建议用时:10分钟)13.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为(  )A.23 B.09 C.02 D.17解析 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的编号为02.答案 C14.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为(  )A.800 B.1 000C.1 200 D.1 500解析 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.所以=b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总数的,即为×3 600=1 200.答案 C15.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为________.解析 由系统抽样的特点,知抽取号码的间隔为=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.答案 1016.一个总体中有90个个体,随机编号0,1,2,…,89,依从小到大的编号顺序平均分成9个小组,组号依次为1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定:如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同,若m=8,则在第8组中抽取的号码是________.解析 由题意知m=8,k=8,则m+k=16,也就是第8组抽取的号码个位数字为6,十位数字为8-1=7,故抽取的号码为76.答案 76
























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