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(新课改省份专用版)2020高考数学一轮复习 23 二次函数与幂函数学案

 版权申诉  doc 第三节 二次函数与幂函数突破点一 幂函数1.幂函数的定义形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.对于幂函数,只讨论α=1,2,3,,-1时的情形.2.五种幂函数的图象3.五种幂函数的性质函数性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0]时,减 增 增 x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=2x2都是幂函数.(  )(2)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).(  )(3)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(  )答案:(1)× (2)× (3)√二、填空题1.(2019·贵阳监测)已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则f=________.解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα,将代入解析式得3-α=,解得α=-,∴f(x)=x,f=.答案:2.设α∈,则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值是________.解析:因为f(x)=xα为奇函数,所以α=-1,1,3.又因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以α=-1.答案:-13.若y=ax是幂函数,则该函数的值域是________.解析:由y=ax是幂函数,得a=1,所以y=x,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞)答案:[0,+∞)1.与函数y=x-1的图象关于x轴对称的图象大致是(  )解析:选B y=x的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=x-1的图象可看作由y=x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示),将y=x-1的图象关于x轴对称后即为选项B.2.已知a=3,b=4,c=12,则a,b,c的大小关系为(  )A.bb>c,故选C.3.(2019·河北保定调考)幂函数f(x)=(m2-4m+4)·x在(0,+∞)上为增函数,则m的值为(  )A.1或3          B.1C.3 D.2解析:选B 由题知解得m=1,故选B.幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.1.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(  )A.a0)是增函数,∴a=>b=.∵y=x是减函数,∴a=(m2+m-1),则实数m的取值范围是(  )A. B.C.(-1,2) D.解析:选D 因为函数y=x的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式等价于解得即≤m<2.故选D.突破点二 二次函数1.二次函数解析式的三种形式一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴是x=-,顶点坐标是 顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),图象的对称轴是x=m,顶点坐标是(m,n) 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴是x= 2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质a>0 a<0 图象   定义域 R 值域   奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 单调性 在上单调递减,在-,+∞上单调递增 在上单调递增,在-,+∞上单调递减 最值 当x=-时,ymin= 当x=-时,ymax= 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(  )(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.(  )(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.(  )答案:(1)× (2)× (3)√二、填空题1.已知抛物线y=8x2-(m+1)x+m-7的顶点在x轴上,则m=________.解析:∵抛物线y=8x2-(m+1)x+m-7的顶点在x轴上,∴其顶点的纵坐标=0,即m2-30m+225=0,∴(m-15)2=0,∴m=15.答案:152.若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于x=1对称,则b=________.解析:若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于x=1对称,则a+b=2,-=1.∴a=-4,b=2-a=6.答案:63.函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值是________,最大值是________.解析:∵f(x)=22-在[-1,1]上为减函数,∴当x=1时,f(x)min=-3;当x=-1时,f(x)max=9.答案:-3 9考法一 求二次函数的解析式 [例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.[解] 法一(利用一般式):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.法二(利用顶点式):设f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x==,∴m=.又根据题意,函数有最大值8,∴n=8,∴f(x)=a2+8.∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.法三(利用零点式):由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即=8.解得a=-4或a=0(舍).∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.[方法技巧]  求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:考法二 二次函数的图象与性质 二次函数图象与性质在高考中单独考查的频率较低,与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.考向一 二次函数的图象识别[例2] (2019·甘肃武威模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确;二次函数的图象的对称轴为直线x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知,b=2a,又∵函数的图象开口向下,∴a<0,∴5a<2a,即5a0)对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),则(  )A.f(2)0知f(x)min=f(2),由2-1<4-2,得f(1)0)在区间[m,n]上的最大或最小值如下:(1)当-∈[m,n],即对称轴在所给区间内时:f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f=;若-≤,f(x)的最大值为f(n);若-≥,f(x)的最大值为f(m).(2)当-∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时:f(x)在[m,n]上是单调函数.若-0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(  )解析:选D 当a<0时,b,c异号,排除A、B两项;当a>0时,b,c同号,排除C项;D项中,由图象知a>0,c<0,->0,故b<0,符合题意.3.已知函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1f(x2)C.f(x1)




















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