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doc 2019-2020年高三一模数学(理科)试题及答案高三试题试卷-新课标人教版 数 学(理科) xx.4 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设全集,集合,,则集合( ) (A) (B) (C) (D) 2. 已知平面向量,,. 若,则实数的值为( ) (A) (B) (C) (D) 3.在极坐标系中,过点且与极轴平行的直线方程是( ) (A) (B) (C) (D) 开始 输出a 结束 否 是 输入a, b 4.执行如图所示的程序框图,如果输入,那么输出的a值为( ) (A) (B) (C) (D) 5.下列函数中,对于任意,同时满足条件和的函数是( ) (A) (C) (B) (D) 6. “”是“方程表示双曲线”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于( ) (A) (B) (C)5 (D)6 8. 如图,设为正四面体表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有( ) B A D C . P (A) 4个 (B)6个 (C)10个 (D)14个 第Ⅱ卷(非选择题 共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.设复数,其中,则______. 10. 若抛物线的焦点在直线上,则_____;的准线方程为_____. 11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧(左)视图面积的最小值是________. 12.若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数的取值范围是_______. 13. 科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______. (用数字作答) 14.如图,在直角梯形中,,,,,,P为线段(含端点)上一个动点,设,,对于函数,给出以下三个结论: A B D C P 当时,函数的值域为; ,都有成立; ,函数的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知. (Ⅰ)求的大小; (Ⅱ)如果,,求△ABC的面积. 16.(本小题满分13分) 在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天) 频数 频率 20 30 70 50 合计 200 (Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值; (Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了个,如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值; (Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望. 17.(本小题满分14分) A B A1 B1 D C E D1 C1 如图,在四棱柱中,底面和侧面都是矩形,是的中点,,. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证:// 平面; (Ⅲ)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度. 18.(本小题满分13分) 已知函数 其中. (Ⅰ)当时,求函数的图象在点处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意,且,都有,求的取值范围. 19.(本小题满分14分) 已知椭圆,直线l与W相交于两点,与x轴、轴分别相交于、两点,O为坐标原点. (Ⅰ)若直线的方程为,求外接圆的方程; (Ⅱ)判断是否存在直线,使得是线段的两个三等分点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分13分) 在数列中,. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为,并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列. (Ⅰ)试写出数列的一个3项子列,并使其为等差数列; (Ⅱ)如果为数列的一个5项子列,且为等差数列,证明:的公差满足; (Ⅲ)如果为数列的一个项子列,且为等比数列,证明:. 北京市西城区xx年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学(理科) xx.4 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.A 7.A 8.C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 10. 11. 12. 13. 14., 注:第10题第一问2分,第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分. 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:因为 , 所以 , ……………… 3分 又因为 , 所以 . ……………… 5分 (Ⅱ)解:因为 ,, 所以 . ………………7分 由正弦定理 , ………………9分 得 . ………………10分 因为 , 所以 , 解得 , 因为 , 所以 . ………………11分 故△ABC的面积. ………………13分 16.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:,. ……………… 2分 (Ⅱ)解:由表可知:灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个, 所以优等品、正品和次品的比例为. ……………… 4分 所以按分层抽样法,购买灯泡数,新 课 标 第 一 网 所以的最小值为. ……………… 6分 (Ⅲ)解:的所有取值为. ……………… 7分 由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为, ……… 8分 从本批次灯泡中购买3个,可看成3次独立重复试验, 所以, , , . ……………… 11分 所以随机变量的分布列为: 0 1 2 3 ………………12分 所以的数学期望. ………………13分 (注:写出,,. 请酌情给分) 17.(本小题满分14分) (Ⅰ)证明:因为底面和侧面是矩形, 所以 ,, 又因为 , 所以 平面, ………………2分 因为 平面, 所以 . ………………4分 (Ⅱ)证明:因为 , 所以四边形是平行四边形. 连接交于点,连接,则为的中点. 在中,因为,, 所以 . ………………6分 A B A1 B1 D C E D1 C1 z y x F G 又因为 平面,平面, 所以 平面. ………………8分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)可知, 又因为 ,, 所以 平面. ………………9分 设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴 如图建立空间直角坐标系, 设,则. 设平面法向量为, 因为 , 由 得 令,得. ………………11分 设平面法向量为, 因为 , 由 得 令,得. ………………12分 由平面与平面所成的锐二面角的大小为, 得 , ………………13分 解得. ………………14分 18.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:由题意,得,其中, ……………… 2分 所以 , 又因为, 所以函数的图象在点处的切线方程为. ……………… 4分 (Ⅱ)解:先考察函数,的图象, 配方得, ……………… 5分 所以函数在上单调递增,在单调递减,且. ……………… 6分 因为对于任意,且,都有成立, 所以 . ……………… 8分 以下考察函数,的图象, 则 , 令,解得. ……………… 9分 随着变化时,和的变化情况如下: ↘ ↗ 即函数在上单调递减,在上单调递增,且. ……………… 11分 因为对于任意,且,都有成立, 所以 . ……………… 12分 因为 (即), 所以的取值范围为. ……………… 13分 19.(本小题满分14分) (Ⅰ)证明:因为直线的方程为, 所以与x轴的交点,与轴的交点. ……………… 1分 则线段的中点,, ……………… 3分 即外接圆的圆心为,半径为, 所以外接圆的方程为. ……………… 5分 (Ⅱ)解:结论:存在直线,使得是线段的两个三等分点. 理由如下: 由题意,设直线的方程为,,, 则 ,, ……………… 6分 由方程组 得, ……………… 7分 所以 , (*) ……………… 8分 由韦达定理,得, . ……………… 9分 由是线段的两个三等分点,得线段的中点与线段的中点重合. 所以 , ………………10分 解得 . ……………… 11分 由是线段的两个三等分点,得. 所以, ……………… 12分 即 , 解得 . ……………… 13分 验证知(*)成立. 所以存在直线,使

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