标签: 2019-2020年高三上学期期中数学试卷(文科)含解析(IV)  
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doc 2019-2020年高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析 (IV)   一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答卷纸相应位置上. 1.已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∩(∁UB)=  . 2.若复数z满足,则的共轭复数是  . 3.已知一组数据3,5,4,7,6,那么这组数据的方差为  . 4.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中2只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为  . 5.如图,矩形ABCD由两个正方形拼成,则∠CAE的正切值为  . 6.如图是一个算法流程图,则输出k的值是  . 7.若实数x,y满足条件,则z=3x﹣4y的最大值是  . 8.若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为  . 9.已知cos()=,则cos()﹣sin2(α﹣)=  . 10.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且=, =,则•的值为  . 11.等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,若log3[an(S4m+1)]=9,则+的最小值是  . 12.在平面直角坐标系数xOy中,点A(1,0),B(4,0),若直线x﹣y+m=0上存在点P,使得2PA=PB,则实数m的取值范围是  . 13.已知函数f(x)=,g(x)=kx+1,若方程f(x)﹣g(x)=0有两个不同实根,则实数k的取值范围为  . 14.已知不等式(ax+3)(x2﹣b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值的集合为  .   二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. (1)求角A的值; (2)若△ABC的面积为,且a=,求△ABC的周长. 16.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)求证:平面PAC⊥平面PCD; (2)求证:CE∥平面PAB. 17.如图,在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A(点A,B在直径上,点C,D在半圆周上),并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗). (1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取? (2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取? 18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B,C是椭圆=1(a>b>0)上不同的三点,,B(﹣2,﹣2),C在第三象限,线段BC的中点在直线OA上. (1)求椭圆的标准方程; (2)求点C的坐标; (3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C)且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点,证明为定值并求出该定值. 19.已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2. (Ⅰ)求an和bn; (Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn. (i)求Sn; (ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn. 20.已知函数f(x)=x2﹣2alnx(a∈R),g(x)=2ax. (1)求函数f(x)的极值; (2)若a>0,函数h(x)=f(x)﹣g(x)有且只有一个零点,求实数a的值; (3)若0<a<1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求a的取值范围.   xx江苏省南京师大附中高三(上)期中数学试卷(文科) 参考答案与试题解析   一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答卷纸相应位置上. 1.已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∩(∁UB)= ∅ . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可. 【解答】解:∵集合U={1,2,3,4},B={1,3,4}, ∴∁UB={2}, ∵A={1,3}, ∴A∩(∁UB)=∅, 故答案为:∅   2.若复数z满足,则的共轭复数是 1+i . 【考点】复数的基本概念. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:∵,∴﹣i•i=﹣i(1+i),则=1﹣i 则的共轭复数是1+i. 故答案为:1+i.   3.已知一组数据3,5,4,7,6,那么这组数据的方差为 2 . 【考点】极差、方差与标准差. 【分析】先求出这组数据的平均数,再求这组数据的方差. 【解答】解:一组数据3,5,4,7,6, 这组数据的平均数==5, 这组数据的方差S2= [(3﹣5)2+(5﹣5)2+(4﹣5)2+(7﹣5)2+(6﹣5)2]=2. 故答案为:2.   4.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中2只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为  . 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数,再求出这2只球颜色不同,包含的基本事件个数,由此能求出这2只球颜色不同的概率. 【解答】解:袋中有形状、大小都相同的4只球,其中2只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球, 基本事件总数n==6, 这2只球颜色不同,包含的基本事件个数m=C=4, ∴这2只球颜色不同的概率p==. 故答案为:.   5.如图,矩形ABCD由两个正方形拼成,则∠CAE的正切值为  . 【考点】三角形中的几何计算. 【分析】有已知矩形ABCD由两个正方形拼成,设正方形的边长为1,由图可知:∠CAD=∠DAD+CAE,利用两角和的正切公式即可求得. 【解答】解:因为矩形ABCD由两个正方形拼成,设正方形的边长为1, 则在Rt△CAD中, =2,, 所以⇔⇒. 故答案为:   6.如图是一个算法流程图,则输出k的值是 6 . 【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序是计算S的值,输出满足S≤0时k的值. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; k=1,S=40,S≤0?,N,S=40﹣2=38; k=2,S≤0?N,S=38﹣22=34; k=3,S≤0?,N,S=34﹣23=26; k=4,S≤0?,N,S=26﹣24=10; k=5,S≤0?,N,S=10﹣25=﹣22; k=6,S≤0?Y,输出k=6. 故答案为:6.   7.若实数x,y满足条件,则z=3x﹣4y的最大值是 ﹣1 . 【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,求出最大值. 【解答】解:不等式组对应的平面区域如图: 由z=3x﹣4y得y=, 平移直线y=,则由图象可知当直线y=,当经过点A时,直线的截距最小,此时z最大. 由,解得,即A(1,1), 此时最大值z=3×1﹣4×1=﹣1, 故答案为:﹣1   8.若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为  . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的渐近线方程,代入点(3,﹣4),可得b=a,再由c=,e=,即可得到所求值. 【解答】解:双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x, 由渐近线过点(3,﹣4), 可得﹣4=﹣, 即b=a, c===a, 可得e==. 故答案为:.   9.已知cos()=,则cos()﹣sin2(α﹣)=  . 【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 【分析】根据诱导公式得出cos()=﹣cos(﹣α),sin2(α﹣)=1﹣cos2(﹣α),然后将已知条件代入即可求出结果. 【解答】解:cos()=cos[π﹣(﹣α)]=﹣cos(﹣α)=﹣ sin2(α﹣)=sin2[﹣(﹣α)]=1﹣cos2(﹣α)=1﹣(﹣)2= ∴cos()﹣sin2(α﹣) =﹣﹣ =﹣. 故答案为:﹣   10.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且=, =,则•的值为  . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量数量积的公式和应用,进行运算求解即可. 【解答】解:∵AB=2,BC=1,∠ABC=60°, ∴BG==,CD=2﹣1=1,∠BCD=120°, ∵=, =, ∴•=(+)•(+)=(+)•(+) =•+•+•+• =2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120° =1+=, 故答案为:   11.等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,若log3[an(S4m+1)]=9,则+的最小值是 2.5 . 【考点】等比数列的通项公式;基本不等式. 【分析】根据等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn,可得an=2•3n﹣1;Sn=3n﹣1,由log3[an•(S4m+1)]=9,可得n+4m=10,进而利用“1”的代换,结合基本不等式,即可得出结论. 【解答】解:∵等比数列{an}的首项为2,公比为3,前n项和为Sn, ∴an=2•3n﹣1;Sn=3n﹣1, ∵log3[an•(S4m+1)]=9, ∴(n﹣1)+4m=9, ∴n+4m=10, ∴+=(n+4m)( +)=(17+)≥(17+8)=2.5, 当且仅当m=n=2时取等号, ∴+的最小值是2.5. 故答案为:2.5.   12.在平面直角坐标系数xOy中,点A(1,0),B(4,0),若直线x﹣y+m=0上存在点P,使得2PA=PB,则实数m的取值范围是 [﹣2,2] . 【考点】直线的一般式方程. 【分析】设P(x,x+m),由2PA=PB,可得4|PA|2=|PB|2,利用两点之间的距离公式化为:(x+m)2=4﹣x2,可得:m=﹣x±,x∈[﹣2,2].通过三角函数代换即可得出. 【解答】解:设P(x,x+m), ∵2PA=PB, ∴4|PA|2=|PB|2, ∴4(x﹣1)2+4(x+m)2=(x﹣4)2+(x+m)2, 化为(x+m)2=4﹣x2, ∴4﹣x2≥0,解得x∈[﹣2,2], ∴m=﹣x±,令x=2cosθ,θ∈[0,π], ∴m=﹣2cosθ±2sinθ =±2sin(θ±)∈[﹣2,2], 实数m的取值范围是[﹣2,2], 故答案为[﹣2,2].   13.已知函数f(x)=,g(x)=kx+1,若方程f(x)﹣g(x)=0有两个不同实根,则实数k的取值范围为 (,1)∪(1,e﹣1] . 【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的零点与方程根的关系. 【分析】方程f(x)﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f(x)与函数y=kx+1有两个不同的交点,作函数f(x)与函数y=kx+1的图象,结合函数的图象求解. 【解答】解:∵g(x)=kx+1, ∴方程f(x)﹣g(x)=0有两个不同实根等价为方程f(x)=g(x)有两个不同实根, 即f(x)=kx+1, 则等价为函数f(x)与函数y=kx+1有两个不同的交点, 当1<x≤2,则0<x﹣1≤1,则f(x)=f(x﹣1)=ex﹣1, 当2<x≤3,则1<x﹣1≤2,则f(x)=f(x﹣1)=ex﹣2, 当3<x≤4,则2<x﹣1≤3,则f(x)=f(x﹣1)=ex﹣3, … 当x>1时,f(x)=f(x﹣1),周期性变化; 函数y=kx+1的图象恒过点(0,1); 作函数f(x)与函数y=kx+1的图象如下, C(0,1),B(2,e),A(1,e); 故kAC=e﹣1,kBC=; 在点C处的切线的斜率k=e0=1; 结合图象可得, 实数k的取值范围为(,1)∪(1,e﹣1]; 故答案为:   14.已知不等式(ax+3)(x2﹣b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值的集合为 {﹣2,8} . 【考点】函数恒成立问题. 【分析】对b分类讨论,当b≤0 时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0得到ax+3≤0,由一次函数的图象知不存在;当b>0 时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0,利用数学结合的思想得出a,b的整数解. 【解答】解:当b≤0 时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0得到ax+3≤0 在x∈(0,+∞) 上恒成立,则a不存在; 当b>0 时,由(ax+3)(x2﹣b)≤0,可设f(x)=ax+3,g(x)=x2﹣b,又g(x) 的大致图象如下,那么由题意可知: 再由a,b 是整数得到或因此a+b=8或﹣2. 故答案为{﹣2,8}   二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. (1)求角A的值; (2)若△ABC的面积为,且a=,求△ABC的周长. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】(1)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可得出结论. (2)由已知利用三角形面积公式可求bc的值,利用余弦定理可求b+c的值,即可得解. 【解答】解:(1)由=, 利用正弦定理可得2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC, 化为2sinBcosA=sin(C+A)=sinB, ∵sinB≠0, ∴cosA=, ∵A∈(0,π), ∴A=. (2)∵A=,△ABC的面积为=bcsinA=bc×, ∴bc=2, ∵a=,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:5=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣6, ∴解得:b+c=, ∴△ABC的周长l=a+b+c=+.   16.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)求证:平面PAC⊥平面PCD;