标签: 2019-2020年高三上学期期中数学试卷(理科)含解析(I)  
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doc 2019-2020年高三上学期期中数学试卷(理科)含解析 (I)   一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.) 1.已知全集U=R,集合A={x|x+1<0},B={x|x2+3x<0},则 (∁UA)∩B等于(  ) A.{x|﹣3<x<0} B.{x|﹣1≤x<0} C.{x|x<﹣1} D.{x|﹣1<x<0} 2.已知函数f(x)=x2+bsinx,其中b为常数.那么“b=0”是“f(x)为偶函数”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知命题p:∀x∈R,3x>2x;命题q:∃x∈R,tanx=2,则下列命题为真命题的是(  ) A.p∧q B.p∧(¬q) C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q) 4.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 5.函数的图象与函数g(x)=ln(x+2)的图象的交点个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,E为BC的中点,点F在DC边上,则的最大值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.与F点的位置有关 7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只要将f(x)的图象(  ) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 8.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数a的值为(  ) A.n(n∈Z) B.2n(n∈Z) C.2n或(n∈Z) D.n或(n∈Z)   二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.) 9.已知角α的终边经过点(3a,4a)(a<0),则sinα=  ,tan(π﹣2α)=  . 10.已知向量 =(,1),=(0,﹣1),=(,k),若﹣2 与 垂直,则 k=  . 11.曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为  . 12.已知log2x+log2y=1,则x+y的最小值为  . 13.已知函数,x∈[0,π].那么下列命题中所有真命题的序号是  . ①f(x)的最大值是 ②f(x)的最小值是 ③f(x)在上是减函数 ④f(x)在上是减函数. 14.我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N+)求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则a24+a25=  ;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第8个5是该数列的第  项.   三、解答题.(本大题共6小题,满分80分) 15.已知函数 (Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求时函数f(x)的最大值和最小值. 16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=3,C=60°, (Ⅰ)求边长c和△ABC的面积; (Ⅱ)求sin2A的值. 17.设函数 (Ⅰ)若函数f(x)在x=3处取得极小值是,求a、b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)若函数f(x)在(﹣1,1)上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围. 18.已知函数f(x)=lnx, (1)当a=1时,若曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点P(x0,g(x0))处的切线平行,求实数x0的值; (2)若∀x∈(0,e],都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围. 19.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=0,bn﹣bn﹣1=log3an(n≥2),求数列{bn}的通项公式; (3)记Tn为数列{nan}的前n项和,求Tn. 20.设函数的图象在点(x,f(x))处的切线的斜率为k(x),且函数为偶函数.若函数k(x)满足下列条件:①k(﹣1)=0;②对一切实数x,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数k(x)的表达式; (Ⅱ)求证:(n∈N*).   xx北京市通州区潞河中学高三(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析   一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.) 1.已知全集U=R,集合A={x|x+1<0},B={x|x2+3x<0},则 (∁UA)∩B等于(  ) A.{x|﹣3<x<0} B.{x|﹣1≤x<0} C.{x|x<﹣1} D.{x|﹣1<x<0} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】先化简集合A、B,求出∁UA,再计算∁UA)∩B. 【解答】解:∵全集U=R,集合A={x|x+1<0}={x|x<﹣1}, ∴∁UA={x|x≥﹣1}, 又B={x|x2+3x<0}={x|﹣3<x<0}, (∁UA)∩B={x|﹣1≤x<0}. 故选:B.   2.已知函数f(x)=x2+bsinx,其中b为常数.那么“b=0”是“f(x)为偶函数”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由题意可知函数的对称轴=0可求b的值. 【解答】解:若f(x)=x2+bsinx为偶函数, 则f(﹣x)=(﹣x)2+bsin(﹣x)=x2﹣bsinx=f(x)=x2+bsinx, ∴b=0 故选:C.   3.已知命题p:∀x∈R,3x>2x;命题q:∃x∈R,tanx=2,则下列命题为真命题的是(  ) A.p∧q B.p∧(¬q) C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【分析】先判断出p,q的真假,从而判断出复合命题的真假即可. 【解答】解:命题p:∀x∈R,3x>2x是假命题, 如x=0时:不成立; 命题q:∃x∈R,tanx=2,是真命题, 故¬p∧q是真命题, 故选:C.   4.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 【考点】等差数列的性质. 【分析】由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①,根据等差数列的前n项和公式可得,,联立可求d,a1,代入等差数列的通项公式可求 【解答】解法一:等差数列{an}中,a2+a5=4,S7=21 根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4① 根据等差数列的前n项和公式可得, 所以 a1+a7=6② ②﹣①可得d=2,a1=﹣3 所以a7=9 解法二:S6=()×6=12 a7=S7﹣S6=9 故选D   5.函数的图象与函数g(x)=ln(x+2)的图象的交点个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】函数的图象. 【分析】作函数与g(x)=ln(x+2)的图象,从而利用数形结合求解. 【解答】解:作函数与g(x)=ln(x+2)的图象如下, , 故函数的图象有两个交点. 故选B.   6.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,E为BC的中点,点F在DC边上,则的最大值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.与F点的位置有关 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】如图所示,A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),E(1,1),F(x,2).(0≤x≤2).可得=(1,1),(x,2),再利用数量积运算性质、一次函数的单调性即可得出. 【解答】解:如图所示建立直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),E(1,1),F(x,2).(0≤x≤2). ∴=(1,1),(x,2), ∴=x+2≤3. ∴的最大值为3. 故选:A.   7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只要将f(x)的图象(  ) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式,进一步利用平移变换求出结果. 【解答】解:根据函数的图象:A=1 又 解得:T=π 则:ω=2 当x=,f()=sin(+φ)=0 解得: 所以:f(x)=sin(2x+) 要得到g(x)=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可. 故选:A   8.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数a的值为(  ) A.n(n∈Z) B.2n(n∈Z) C.2n或(n∈Z) D.n或(n∈Z) 【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的图象与图象变化;偶函数. 【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f(x)在区间[0,2)上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或,又因为对任意的x∈R, 都有f(x+2)=f(x),所以要求的实数a的值为2n或2n﹣. 【解答】解:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,设x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],于是f(x)=(﹣x)2=x2. 设x∈[1,2],则(x﹣2)∈[﹣1,0].于是,f(x)=f(x﹣2)=(x﹣2)2. ①当a=0时,联立,解之得,即当a=0时,即直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点. ②当﹣2<a<0时,只有当直线y=x+a与函数f(x)=x2在区间[0,1)上相切,且与函数f(x)=(x﹣2)2 在x∈[1,2)上仅有一个交点时才满足条件.由f′(x)=2x=1,解得x=, ∴y==,故其切点为, ∴; 由(1≤x<2)解之得. 综上①②可知:直线y=x+a与函数y=f(x)在区间[0,2)上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或. 又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),实数a的值为2n或2n﹣,(n∈Z). 故应选C.   二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.) 9.已知角α的终边经过点(3a,4a)(a<0),则sinα=  ,tan(π﹣2α)=  . 【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】先求r,再利用三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式,即可求得结论. 【解答】解:由题意,x=3a,y=4a,∴r=|5a|=﹣5a ∴sinα==﹣,tanα== ∴tan(π﹣2α)=﹣tan2α=﹣=﹣= 故答案为:,.   10.已知向量 =(,1),=(0,﹣1),=(,k),若﹣2 与 垂直,则 k= ﹣1 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知向量的坐标求出的坐标,再由与垂直列式求得k值. 【解答】解:∵,, ∴=(), 又,且与垂直, ∴,解得:k=﹣1. 故答案为:﹣1.   11.曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为  . 【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01(x﹣x2)dx 而∫01(x﹣x2)dx=(﹣)|01=﹣= ∴曲边梯形的面积是 故答案为:.   12.已知log2x+log2y=1,则x+y的最小值为 2 . 【考点】基本不等式;对数的运算性质. 【分析】由log2x+log2y=1,得出xy=2,且x>0,y>0;由基本不等式求出x+y的最小值. 【解答】解:∵log2x+log2y=1, ∴log2(xy)=1, ∴xy=2,其中x>0,y>0; ∴x+y≥2=2,当且仅当x=y=时,“=”成立; ∴x+y的最小值为. 故答案为:2.   13.已知函数,x∈[0,π].那么下列命题中所有真命题的序号是 ①④ . ①f(x)的最大值是 ②f(x)的最小值是 ③f(x)在上是减函数 ④f(x)在上是减函数. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】先求导,再研究出它的单调性确定出最值,再由这些性质对四个命题进行比较验证,选出正确命题 【解答】解:∵f(x)=sinx﹣x,x∈[0,π], ∴f′(x)=cosx﹣, 令f′(x)=0,解得x=, 当f′(x)>0时,解得0≤x≤,函数单调递增, 当f′(x)<0时,解得≤x≤π,函数单调递减, ∴当x=时,函数取的最大值,即f(x)的最大值是 ∵f(0)=sin0﹣0=0,f(π)=sinπ﹣π=﹣π, ∴函数的最小值为f(π)=﹣π, 故所有真命题的序号是①④, 故答案为;①④.   14.我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N+)求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则a24+a25= 28 ;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第8个5是该数列的第 640 项. 【考点】数列递推式. 【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数,而偶数项的值由对应的值来决定.又通过前面的项发现项的值为5时,下角码是首项为5,公比为2的等比数列.即可求出第8个5在该数列中所占的位置. 【解答】解:由题得:这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3… ∴a24+a25=3+25=28. 又因为a5=5,a10=5,a20=5,a40=5… 即项的值