标签: 2019-2020年高三上学期期末数学试卷(文科)含解析(V)  
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doc 2019-2020年高三上学期期末数学试卷(文科) 含解析 (V)   一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合S={1,3,5},T={3,6},则∁U(S∪T)等于(  ) A.∅ B.{4} C.{2,4} D.{2,4,6} 2.复数(i是虚数单位)的虚部是(  ) A.i B.1 C.﹣i D.﹣1 3.如果命题“¬(p∧q)”为假命题,则(  ) A.p、q均为真命题 B.p、q均为假命题 C.p、q至少有一个为真命题 D.p、q至多有一个为真命题 4.在等差数列{an}中,若前10项的和S10=60,且a7=7,则a4=(  ) A.4 B.﹣4 C.5 D.﹣5 5.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A.πcm3 B.3πcm3 C.πcm3 D.πcm3 6.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为(  ) A.5 B.10 C.20 D. 7.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(  ) A. B. C. D.2 8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=,f(x+1)=f(x﹣1),则方程f(x)=在区间[﹣3,3]上的所有实根之和为(  ) A.0 B.﹣2 C.﹣8 D.8   二、填空题:本大题共6大题,每小题5分,共30分. 9.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成五组:每一组[13,14);第二组[14,15),…,第五组[17,18].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是  . 10.阅读下列程序框图,该程序输出的结果是  . 11.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<﹣1的解集是  . 12.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为  . 13.已知圆C:x2+y2﹣6x+8=0,若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k=  . 14.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<),给出以下四个论断: ①它的周期为π; ②它的图象关于直线x=对称; ③它的图象关于点(,0)对称; ④在区间(﹣,0)上是增函数, 以其中两个论断为条件,另两个论断作结论,写出你认为正确的一个命题,条件  结论  .(注:填上你认为正确的一种答案即可)   三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答写出文字说明、证明过程或验算过程. 15.(13分)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且, (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)若△ABC最大边的边长为,且sinC=2sinA,求最小边长. 16.(13分)电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中,连续剧甲每次播放时间为80 min,广告时间为1 min,收视观众为60万;连续剧乙每次播放时间为40 min,广告时间为1 min,收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6 min广告,而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟.问两套连续剧各播多少次,才能获得最高的收视率? 17.(13分)如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DD1⊥平面ABCD,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°. (Ⅰ)证明:BD⊥平面ADD1A1; (Ⅱ)证明:CC1∥平面A1BD; (Ⅲ)若DD1=AD,求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值. 18.(13分)在等差数列{an}中,首项a1=1,数列{bn}满足,且b1b2b3=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前n项和Sn. 19.(14分)已知椭圆+=1(a>b>0)离心率为. (1)椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆上的一点,且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程; (2)求b为何值时,过圆x2+y2=t2上一点M(2,)处的切线交椭圆于Q1、Q2两点,且OQ1⊥OQ2. 20.(14分)已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R. (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)当函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然对数的底数时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.   xx天津市南开区高三(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析   一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合S={1,3,5},T={3,6},则∁U(S∪T)等于(  ) A.∅ B.{4} C.{2,4} D.{2,4,6} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵S={1,3,5},T={3,6}, ∴S∪T={1,3,5,6}, 则∁U(S∪T)={2,4}, 故选:C 【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据补集,并集的定义是解决本题的关键.   2.复数(i是虚数单位)的虚部是(  ) A.i B.1 C.﹣i D.﹣1 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵ =, ∴复数的虚部是1. 故选:B. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.   3.如果命题“¬(p∧q)”为假命题,则(  ) A.p、q均为真命题 B.p、q均为假命题 C.p、q至少有一个为真命题 D.p、q至多有一个为真命题 【考点】复合命题的真假. 【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出. 【解答】解:∵命题“¬(p∧q)”为假命题, ∴命题“p∧q”为真命题, ∴命题p、q均为真命题. 故选:A. 【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法,属于基础题.   4.在等差数列{an}中,若前10项的和S10=60,且a7=7,则a4=(  ) A.4 B.﹣4 C.5 D.﹣5 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得到首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案. 【解答】解:在等差数列{an}中,∵S10=60,a7=7, ∴,解得, ∴. 故选:C. 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础的计算题.   5.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A.πcm3 B.3πcm3 C.πcm3 D.πcm3 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,据此可计算出体积. 【解答】解:由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球, 所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π(cm3). 故选D. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量.   6.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为(  ) A.5 B.10 C.20 D. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】先设处P点坐标,进而求得抛物线的准线方程,进而求得P点横坐标,代入抛物线方程求得P的纵坐标,进而利用三角形面积公式求得答案. 【解答】解:设P(x0,y0) 依题意可知抛物线准线x=﹣1, ∴x0=5﹣1=4 ∴|y0|==4, ∴△MPF的面积为×5×4=10 故选:B 【点评】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.   7.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(  ) A. B. C. D.2 【考点】向量在几何中的应用. 【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出,带入并进行向量的数乘运算便可得出,而,这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ,μ的方程组,解出λ,μ便可得出λ+μ的值. 【解答】解:,,; ∴= = =; ∴由平面向量基本定理得:; 解得; ∴. 故选B. 【点评】考查向量加法、减法,及数乘的几何意义,以及向量的数乘运算,相等向量的概念,平面向量基本定理.   8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=,f(x+1)=f(x﹣1),则方程f(x)=在区间[﹣3,3]上的所有实根之和为(  ) A.0 B.﹣2 C.﹣8 D.8 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】可判断函数f(x)的周期为2,从而化简可得f(x)﹣2=,作函数f(x)﹣2与y=在[﹣3,3]上的图象,从而结合图象解得. 【解答】解:∵f(x+1)=f(x﹣1), ∴函数f(x)的周期为2, ∵f(x)=, ∴f(x)﹣2=, ∵f(x)=, ∴f(x)﹣2=, 作函数y=f(x)﹣2与y=在[﹣3,3]上的图象如下, 易知点A与点C关于原点对称, 故方程f(x)=在区间[﹣3,3]上的所有实根之和为0, 故选:A. 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的关系应用.   二、填空题:本大题共6大题,每小题5分,共30分. 9.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成五组:每一组[13,14);第二组[14,15),…,第五组[17,18].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是 27 . 【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14,16)内的人数为50×0.16+50×0.38,这是频率,频数和样本容量之间的关系. 【解答】解:由频率分布直方图知,成绩在[14,16)内的 人数为50×0.16+50×0.38=27(人) ∴该班成绩良好的人数为27人. 故答案为:27. 【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算.   10.阅读下列程序框图,该程序输出的结果是 729 . 【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值. 【解答】解:分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值. ∵S=9×9×9=729 故答案为:729 【点评】要判断程序的运行结果,我们要先根据已知判断程序的功能,构造出相应的数学模型,转化为一个数学问题.   11.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<﹣1的解集是 (﹣∞,﹣2)∪(0,) . 【考点】对数函数的单调性与特殊点;奇函数. 【分析】设x<0,则﹣x>0,代入解析式后,利用奇函数的关系式求出x<0时的解析式,再对x分两种情况对不等式进行求解,注意代入对应的解析式,最后要把解集并在一起. 【解答】解:设x<0,则﹣x>0, ∵当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,∴f(﹣x)=log2(﹣x), ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log2(﹣x), ①当x∈(0,+∞)时,f(x)<﹣1,即log2x<﹣1=, 解得0<x<, ②当x∈(﹣∞,0)时,f(x)<﹣1,即﹣log2(﹣x)<﹣1, 则log2(﹣x)>1=log22,解得x<﹣2, 综上,不等式的解集是(﹣∞,﹣2)∪(0,). 故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(0,). 【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式,一般的做法是“求谁设谁”,即在那个区间上求解析式,x就设在该区间内,再利用负号转化到已知的区间上,代入解析式进行化简,再利用奇函数的定义f(x),再求出不等式的解集.   12.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y=4x﹣3 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】先求导函数,求出切线的斜率,再求切线的方程. 【解答】解:求导函数,可得y′=3lnx+4, 当x=1时,y′=4, ∴曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为y﹣1=4(x﹣1),即y=4x﹣3. 故答案为:y=4x﹣3. 【点评】本题考查导数的几何意义,考查点斜式求直线的方程,属于基础题.   13.已知圆C:x2+y2﹣6x+8=0,若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k=  . 【考点】圆的切线方程. 【分析】求出圆心C的坐标和圆的半径,根据直线与圆相切,利用点到直线的距离公式列式=1,解得k=,再根据切点在第四象限加以检验,可得答案. 【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣6x+8=0的圆心为(3,0),半径r=1 ∴当直线y=kx与圆C相切时,点C(3,0)到直线的距离等于1, 即=1,解之得k= ∵切点在第四象限, ∴当直线的斜率k=时,切点在第一象限,不符合题意 直线的斜率k=﹣时,切点在第四象限.因此,k=﹣ 故答案为:﹣ 【点评】本题给出直线与圆相切,在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k,着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.   14.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<),给出以下四个论断: ①它的周期为π; ②它的图象关于直线x=对称