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doc 2019-2020年高三上学期期末考试数学理试题含答案 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合,,则 A. B. C. D. 2.复数(是虚数单位)在复平面内所对应点的坐标为 A. B. C. D. 开始 m =1, i=1 m=m (2-i)+1 i= i +1 m=0? 结束 输出i 是 否 3.执行如图所示的程序框图,则输出的值为 A. B. C. D. 第3题图 4.在一段时间内有xx辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的200辆进行车速统计,统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h~120km/h,试估计xx辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 80 90 100 110 120 130车速(km/h) 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 A.辆 B.辆 C.辆 D.辆 第4题图 5.“”是“函数在上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知点及抛物线上一动点,则的最小值是 A. B.1 C. 2 D. 3 7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是3 4 3 正视图 侧视图 俯视图 A.27 B.30 C.32 D.36 第7题图 8.设函数的定义域,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,().若为上的“20型增函数”,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9.函数的最小正周期是 ,最小值是 . 10.若,满足约束条件则的最大值为 . 11.在各项均为正数的等比数列中,若,则的最小值是 . 12.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲同学不与老师相邻,则不同站法种数为 . 13.已知为圆()上两个不同的点(为圆心),且满足,则 . 14.已知点在的内部,且有,记的面积分别为.若,则 ;若,则 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分) 某中学高一年级共8个班,现从高一年级选10名同学组成社区服务小组,其中高一(1)班选取3名同学,其它各班各选取1名同学.现从这10名同学中随机选取3名同学,到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的3名同学来自不同班级的概率; (Ⅱ)设X为选出同学中高一(1)班同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 16.(本小题满分13分) A D B C 如图,在中,点在边上,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若求的面积. 17.(本小题满分13分) 如图,在四棱锥中,底面是菱形,且.点是棱的中点,平面与棱交于点. (Ⅰ)求证:∥; (Ⅱ)若,且平面平面, 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 18.(本小题满分14分) 已知函数,其中. (Ⅰ)若在区间上为增函数,求的取值范 围; (Ⅱ)当时,(ⅰ)证明:; (ⅱ)试判断方程是否有实数解,并说明理由. 19.(本小题满分14分) 已知圆的切线与椭圆相交于,两点. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)求证:; (Ⅲ)求面积的最大值. 20.(本小题满分13分) 已知有穷数列:的各项均为正数,且满足条件: ①;②. (Ⅰ)若,求出这个数列; (Ⅱ)若,求的所有取值的集合; (Ⅲ)若是偶数,求的最大值(用表示). 北京市朝阳区xx第一学期期末高三年级统一考试 数学答案(理工类) xx.1 一、选择题:(满分40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D A C A B 二、填空题:(满分30分) 题号 9 10 11 12 13 14 答案 , (注:两空的填空,第一空3分,第二空2分) 三、解答题:(满分80分) 15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A,则 所以选出的3名同学来自班级的概率为. ……………………………5分 (Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,则 ; ; ; . 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望 . …………………………13分 16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为,所以. 又因为,所以. 所以 . ………………………7分 (Ⅱ)在中,由,得. 所以. …………13分 17.(本小题满分13分) (Ⅰ)证明:因为底面是菱形,所以∥. 又因为面,面,所以∥面. 又因为四点共面,且平面平面, 所以∥. ………………………5分 (Ⅱ)取中点,连接. 因为,所以. 又因为平面平面, 且平面平面, 所以平面.所以. 在菱形中,因为, ,是中点, 所以. 如图,建立空间直角坐标系.设, 则, . 又因为∥,点是棱中点,所以点是棱中点.所以,.所以,. 设平面的法向量为,则有所以 令,则平面的一个法向量为. 因为平面,所以是平面的一个法向量. 因为, 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ……………………13分 18.(本小题满分14分) 解:函数定义域,. (Ⅰ)因为在区间上为增函数,所以在上恒成立, 即,在上恒成立, 则 ………………………………………………………4分 (Ⅱ)当时,,. (ⅰ)令,得. 令,得,所以函数在单调递增. 令,得,所以函数在单调递减. 所以,. 所以成立. …………………………………………………9分 (ⅱ)由(ⅰ)知, , 所以. 设所以. 令,得. 令,得,所以函数在单调递增, 令,得,所以函数在单调递减; 所以,, 即. 所以 ,即. 所以,方程没有实数解. ……………………………14分 19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可知,,所以. 所以.所以椭圆的离心率为. …………………………3分 (Ⅱ)若切线的斜率不存在,则. 在中令得. 不妨设,则.所以. 同理,当时,也有. 若切线的斜率存在,设,依题意,即. 由,得.显然. 设,,则,. 所以. 所以 . 所以. 综上所述,总有成立. ………………………………………………9分 (Ⅲ)因为直线与圆相切,则圆半径即为的高, 当的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知. 则. 当的斜率存在时,由(Ⅱ)可知, . 所以 (当且仅当时,等号成立).所以.此时, . 综上所述,当且仅当时,面积的最大值为.…………………14分 20.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为,由①知; 由②知,,整理得,.解得,或. 当时,不满足,舍去; 所以,这个数列为. …………………………………………………3分 (Ⅱ)若,由①知. 因为,所以. 所以或. 如果由计算没有用到或者恰用了2次,显然不满足条件; 所以由计算只能恰好1次或者3次用到,共有下面4种情况: (1)若,,,则,解得; (2)若,,,则,解得; (3)若,,,则,解得; (4)若,,,则,解得; 综上,的所有取值的集合为. ………………………………………………8分 (Ⅲ)依题意,设.由(II)知,或. 假设从到恰用了 次递推关系,用了次递推关系, 则有其中. 当是偶数时,,无正数解,不满足条件; 当是奇数时,由得, 所以. 又当时,若, 有,,即. 所以,的最大值是.即.…………………………………13分