标签: 2018-2019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2-1  
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doc 2.2.1 椭圆的标准方程 在平面直角坐标系中,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),D(0,-2). 问题1:若动点P满足PA+PB=6,设P的坐标为(x,y),则x,y满足的关系式是什么? 提示:由两点间距离公式得 +=6, 化简得+=1. 问题2:若动点P满足PC+PD=6,设P的坐标为(x,y),则x、y满足什么关系? 提示:由两点间距离公式得 +=6, 化简得+=1. 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a、b、c的关系 c2=a2-b2 1.标准方程中的两个参数a和b,确定了椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件.a,b,c三者之间a最大,b,c大小不确定,且满足a2=b2+c2. 2.两种形式的标准方程具有共同的特征:方程右边为1,左边是两个非负分式的和,并且分母为不相等的正值.当椭圆焦点在x轴上时,含x项的分母大;当椭圆焦点在y轴上时,含y项的分母大,已知椭圆的方程解题时,应特别注意a>b>0这个条件. 待定系数法求椭圆标准方程 [例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过两点(2,-),; (2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点. [思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定,故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论.也可利用椭圆的一般方程Ax2+By2=1(其中A>0,B>0,A≠B),直接求A,B.(2)求出焦点,然后设出相应方程,将点(,-)代入,即可求出a,b,则标准方程易得. [精解详析] (1)法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为 +=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得 即a2=4,b2=8,则a2<b2,与题设中a>b>0矛盾,舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为+=1. 法二:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-),代入, 得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同, 所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16. 设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.① 又点(,-)在椭圆上,所以+=1, 即+=1.② 由①②得b2=4,a2=20, 所以所求椭圆的标准方程为+=1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为: 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0),(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)经过两点P,Q. 解:(1)由已知得:c=4,a=5. b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆方程为+=1. (2)设椭圆方程为Ax2+By2=1.(A>0,B>0,A≠B) 由已知得, 解得: 故所求椭圆方程为+=1. 2.求适合下列条件的椭圆的方程. (1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1); (2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10),P到它较近的一个焦点的距离等于2. 解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上, 所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0). ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1), ∴∴ 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0). ∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10. 又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2, ∴-c-(-10)=2,故c=8, ∴b2=a2-c2=36, ∴所求椭圆的标准方程是+=1. 椭圆标准方程的讨论 [例2] 已知方程x2·sin α-y2·cos α=1(0≤α≤2π)表示椭圆. (1)若椭圆的焦点在x轴上,求α的取值范围. (2)若椭圆的焦点在y轴上,求α的取值范围. [思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式,应先化成标准方程. (2)对于椭圆方程+=1(m>0,n>0,m≠n)可由m,n的大小确定椭圆焦点的位置,列出三角不等式后求α的范围. [精解详析] 将椭圆方程x2·sin α-y2·cos α=1(0≤α≤2π)化为标准形式为+=1(0≤α≤2π). (1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆, 则>->0,即 所以π<α<π.即α的取值范围是. (2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆, 则->>0,即 所以<α<.即α的取值范围是. [一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题,一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置,结合对应的标准方程应满足的条件,建立一个含参数的不等式组,通过求解不等式组得到参数的取值范围. 3.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是________. 解析:由于椭圆的焦点在x轴上,所以即解得a>3或-6<a<-2. 答案:(3,+∞)∪(-6,-2) 4.已知方程+=-1表示椭圆,求k的取值范围. 解:方程+=-1可化为+=1,由椭圆的标准方程可得 得3<k<5,且k≠4. 所以满足条件的k的取值范围是{k|3<k<5,且k≠4}. 椭圆的定义及标准方程的应用 [例3]  如图所示,已知椭圆的方程为+=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积. [思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF1+PF2=4,结合面积公式和余弦定理找到PF1和PF2的关系求解. [精解详析] 由已知a=2,b=, 所以c===1, F1F2=2c=2,在△PF1F2中, 由余弦定理,得 PF=PF+F1F-2PF1·F1F2cos 120°, 即PF=PF+4+2PF1.① 由椭圆定义,得PF1+PF2=4, 即PF2=4-PF1.② ②代入①解得PF1=. ∴S△PF1F2=PF1·F1F2·sin 120° =××2×=, 即△PF1F2的面积是. [一点通] 在椭圆中,由三条线段PF1,PF2,F1F2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出PF1+PF2=2a,利用这个关系式便可求出结果,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法. 5.已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0),且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则动点P的轨迹方程是________. 解析:∵F1(-1,0),F2(1,0),∴F1F2=2. ∵F1F2是PF1与PF2的等差中项, ∴2F1F2=PF1+PF2, 即PF1+PF2=4, ∴点P在以F1,F2为焦点的椭圆上, ∵2a=4,a=2,c=1,∴b2=3. ∴椭圆的方程是+=1. 答案:+=1 6.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2=2∶1,则△F1PF2的面积等于________. 解析:由+=1,得a=3,b=2, ∴c2=a2-b2=5.∴c=.∴F1F2=2 . 由得 ∴PF+PF=F1F. ∴△F1PF2为直角三角形. ∴S△F1PF2=PF1·PF2=4. 答案:4 7.如图,已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点. (1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15,那么点P到另一个焦点F2的距离是多少? (2)过F1作直线与椭圆交于A,B两点,试求△ABF2的周长. 解:由椭圆的标准方程可知a2=100,所以a=10. (1)由椭圆的定义得PF1+PF2=2a=20,又PF1=15,所以PF2=20-15=5,即点P到焦点F2的距离为5. (2)△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=(AF1+BF1)+AF2+BF2=(AF1+AF2)+(BF1+BF2). 由椭圆的定义可知AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,故AB+AF2+BF2=4a=40. 用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解;也可设Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免了分类讨论,达到了简化运算的目的. [对应课时跟踪训练(八)]  1.若椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为________. 解析:由椭圆定义知,a=5,P到两个焦点的距离之和为2a=10,因此,到另一个焦点的距离为5. 答案:5 2.椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是________. 解析:椭圆的标准方程为+=1,故焦点在y轴上,其中a2=,b2=,所以c2=a2-b2=-=,故c=.所以该椭圆的焦点坐标为. 答案: 3.已知方程(k2-1)x2+3y2=1是焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是________. 解析:方程(k2-1)x2+3y2=1可化为+=1. 由椭圆焦点在y轴上,得 解之得k>2或k<-2. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞) 4.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 解析:由题意,知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 答案:8 5.已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为________. 解析:在△F1PF2中, F1F=PF+PF-2PF1·PF2cos 60°, 即25=PF+PF-PF1·PF2.① 由椭圆的定义,得 10=PF1+PF2.② 由①②,得PF1·PF2=25, ∴S△F1PF2=PF1·PF2sin 60°=. 答案: 6.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)以(0,5)和(0,-5)为焦点,且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26; (2)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过M(2,). 解:(1)∵椭圆的焦点在y轴上, ∴设它的标准方程为+=1(a>b>0). ∵2a=26,2c=10,∴a=13,c=5. ∴b2=a2-c2=144. ∴所求椭圆的标准方程为+=1. (2)法一:由9x2+5y2=45, 得+=1,c2=9-5=4, 所以其焦点坐标为F1(0,2),F2(0,-2). 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由点M(2,)在椭圆上,所以MF1+MF2=2a, 即2a=+=4, 所以a=2, 又c=2,所以b2=a2-c2=8, 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 法二:由法一知,椭圆9x2+5y2=45的焦点坐标为F1(0,2),F2(0,-2), 则设所求椭圆方程为+=1(λ>0), 将M(2,)代入,得+=1(λ>0), 解得λ=8或λ=-2(舍去). 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 7.如图,设点P是圆x2+y2=25上的动点,点D是点P在x轴上的投影,M为PD上一点,且MD=PD,当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程. 解:设M点的坐标为(x,y),P点的坐标为(xP,yP), 由已知易得 ∵P在圆上,∴x2+(y)2=25. 即轨迹C的方程为+=1. 8.已知动圆M过定点A(-3,0),并且内切于定圆B:(x-3)2+y2=64,求动圆圆心M的轨迹方程. 解:设动圆M的半径为r, 则|MA|=r,|MB|=8-r, ∴|MA|+|MB|=8,且8>|AB|=6, ∴动点M的轨迹是椭圆,且焦点分别是A(-3,0),B(3,0),且2a=8, ∴a=4,c=3, ∴b2=a2-c2=16-9=7. ∴所求动圆圆心M的轨迹方程是+=1.

2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2-1.doc

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