标签: 2018-2019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的几何性质讲义(含解析)苏教版选修2-1  
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doc 2019版高中语文 第一专题 寡人之于国也(第二课时)学案苏教版必修4.doc
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doc 2.3.2 双曲线的几何性质 双曲线的简单几何性质 歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下:如果我是双曲线,你就是那渐近线,如果我是反比例函数,你就是那坐标轴,虽然我们有缘,能够坐在同一平面,然而我们又无缘,漫漫长路无交点. 问题1:双曲线的对称轴、对称中心是什么? 提示:坐标轴;原点. 问题2:过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗? 提示:有一个交点. 双曲线的几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性质 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 2c 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 顶点 (±a,0) (0,±a) 对称性 关于x轴、y轴、坐标原点对称 轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b 离心率 e=∈(1,+∞) 渐近线 y=±x y=±x 等轴双曲线 观察所给两个双曲线方程. (1)-=1; (2)x2-y2=9. 问题1:两个双曲线方程有何共同特点? 提示:所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等. 问题2:两个双曲线的离心率是多少? 提示:. 问题3:两双曲线的渐近线方程是什么? 提示:渐近线方程y=±x. 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. 1.离心率e反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大. 2.双曲线有两条渐近线,渐近线与双曲线没有交点.渐近线方程用a,b表示时,受焦点所在坐标轴的影响. 双曲线的几何性质 [例1] 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. [思路点拨] 先化方程为标准形式,然后根据标准方程求出基本量a,b,c即可得解,但要注意焦点在哪条坐标轴上. [精解详析] 由9y2-4x2=-36得 -=1, ∴a2=9,b2=4. c2=a2+b2=13. ∴c=. ∴顶点坐标为(-3,0),(3,0) 焦点坐标为(-,0),(,0), 实轴长为2a=6,虚轴长为2b=4, 离心率为e==, 渐近线方程为y=±x. [一点通] 求解双曲线的几何性质问题时,首先将方程化为标准方程,分清焦点所在的轴,写出a与b的值,进而求出c,即可求得双曲线的性质. 1.(湖北高考改编)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1,下列说法正确的个数为________. ①实轴长相等;②虚轴长相等;③离心率相等;④焦距相等. 解析:双曲线C1和C2的实轴长分别是2sin θ和2cos θ,虚轴长分别为2cos θ和2sin θ,则焦距都等于2,相等,离心率不相等,只有④正确. 答案:1 2.(福建高考改编)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于________. 解析:双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线为y=±x,∴顶点到渐近线的距离为=. 答案: 3.求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程. 解:把方程化为-=1, ∴a=4,b=3,c=5. ∴实半轴长a=4,虚半轴长b=3, 焦点坐标(0,-5),(0,5),离心率e==, 渐近线方程为y=±x. 根据几何性质求双曲线的标准方程 [例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程: (1)虚轴长为12,离心率为; (2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±x; (3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程. [思路点拨] 分析双曲线的几何性质,求出a,b,c的值,再确定(讨论)焦点位置,写出双曲线的标准方程. [精解详析] (1)设双曲线的标准方程为 -=1或-=1(a>0,b>0). 由题知2b=12,=,且c2=a2+b2, ∴b=6,c=10,a=8. ∴所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)当焦点在x轴上时,由=且a=3,得b=. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 当焦点在y轴上时,由=且a=3,得b=2. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (3)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k,将点(2,-2)代入,得 k=-(-2)2=-2, ∴双曲线的标准方程为-=1. [一点通]  由双曲线的性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,其步骤为: (1)判断:利用条件判断焦点的位置; (2)设:设出双曲线的标准方程; (3)列:利用已知条件构造关于参数的方程; (4)求:解参数方程,进而得标准方程. 4.(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率为,则C的方程是________. 解析:由题意可知c=3,a=2,b= = =,故双曲线的方程为-=1. 答案:-=1 5.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程是______________. 解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4,解得c=5,b=4,则双曲线的标准方程是-=1. 答案:-=1 6.求中心在原点,焦点在坐标轴上,过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程. 解:①若焦点在x轴上,则双曲线方程为-=1. ∵M(3,4)在双曲线上,∴-=1. 又∵b=2a,∴9×4-16=4a2,解得a2=5,b2=20, ∴双曲线方程为-=1. ②若焦点在y轴上,则双曲线方程为-=1. ∵M(3,4)在双曲线上,∴-=1, 又∵b=2a,∴16×4-9=4a2,解得a2=,b2=55, ∴双曲线方程为-=1. 综上可知,双曲线方程为-=1或-=1. 求双曲线的离心率及其范围 [例3] (1)设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________. (2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的范围是________. [思路点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系,求出离心率,对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系,因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则必有≥tan 60°. [精解详析] (1)由题意2c=AB=BC, ∴AC=2×2c×sin 60°=2 c, 由双曲线的定义, 有2a=AC-BC=2 c-2c ⇒a=(-1)c, ∴e===. (2)因为双曲线渐近线的斜率为k=, 直线的斜率为k=tan 60°=,故有≥ , 所以e==≥=2, 所以所求离心率的取值范围是e≥2. [答案] (1) (2)e≥2 [一点通]  1.求双曲线离心率的常见方法: (1)依据条件求出a,c,利用e=; (2)利用e= ; (3)依据条件,建立关于a,b,c的齐次关系式,消去b,转化为离心率e的方程求解. 2.求离心率的范围,常结合已知条件构建关于a、b、c的不等关系. 7.(湖南高考)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为________. 解析:如图,由已知可得,PF1=2ccos 30°=c,PF2=2csin 30°=c,由双曲线的定义,可得c-c=2a,则e===+1. 答案:+1 8.双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且PF1=2PF2,则双曲线离心率的取值范围为________. 解析:如图,设PF2=m,∠F1PF2=θ(0<θ ≤π),当P在右顶点处θ=π, e===. ∵-1≤cos θ<1,又∵e>1,∴e∈(1,3]. 答案:(1,3] 1.双曲线离心率及其范围的求法. (1)双曲线离心率的求解,一般可采用定义法、直接法等方法. (2)双曲线离心率范围的求解,涉及解析几何中“范围”问题的解法.在解析几何中,求“范围”问题,一般可从以下几个方面考虑:与已知范围联系,通过求值域或解不等式来完成;通过判别式Δ>0;利用点在曲线内部形成的不等式关系;利用解析式的结构特点,如a,,|a|等非负性. 2.求双曲线的标准方程,当焦点不明确时,方程可能有两种形式,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得;若已知双曲线的渐近线方程为y=±x,还可以将方程设为-=λ(λ≠0)避免焦点的讨论. [对应课时跟踪训练(十一)]  1.(陕西高考)双曲线-=1的离心率为.则m=________. 解析:∵a=4,b=,∴c2=16+m,e===,∴m=9. 答案:9 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0),两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为________. 解析:根据题意,由于双曲线-=1(a>0,b>0),两条渐近线的夹角为60°,则可知=或=,那么可知双曲线的离心率为e=,所以结果为2或. 答案:2或 3.焦点为(0,6),且与双曲线-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是________. 解析:由-y2=1,得双曲线的渐近线为y=±x. 设双曲线方程为:-y2=λ(λ<0), ∴-=1.∴-λ-2λ=36,∴λ=-12. 故双曲线方程为-=1. 答案:-=1 4.(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为________. 解析:∵e2===1+=,∴=,∴=,∴y=±x. 答案:y=±x 5.若双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1、F2,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线离心率e的取值范围是________. 解析:依题意得由此解得|PF2|=a,|PF1|=3a,∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即c≤2a,e=≤2.又e>1,∴离心率e的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2] 6.根据下列条件求双曲线的标准方程: (1)经过点,且一条渐近线方程为4x+3y=0. (2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为. 解:(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0, ∴可设双曲线方程为-=λ(λ≠0). ∵双曲线经过点, ∴×-=λ.即λ=1. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)设F1、F2为双曲线的两个焦点,依题意,它的焦点在x轴上, ∵PF1⊥PF2,且OP=6, ∴2c=F1F2=2OP=12,∴c=6. 又P与两顶点连线夹角为, ∴a=|OP|·tan=2 , ∴b2=c2-a2=24. 故所求双曲线的标准方程为-=1. 7.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率. 解:设F1(c,0),将x=c代入双曲线的方程得-=1,那么y=±. 由PF2=QF2,∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|, ∴=2c,∴b2=2ac. 由a2+b2=c2, 得c2-2ac-a2=0, ∴2-2×-1=0. 即e2-2e-1=0. ∴e=1+或e=1-(舍去). 所以所求双曲线的离心率为1+. 8.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为且过点(4,-). (1)求双曲线方程; (2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在以F1F2为直径的圆上; (3)求△F1MF2的面积. 解:(1)∵离心率e=,∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),则由点(4,-)在双曲线上,知 λ=42-(-)2=6, ∴双曲线方程为x2-y2=6,即-=1. (2)若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,∴m2=3. 由双曲线x2-y2=6知,F1(2 ,0),F2(-2 ,0), ∴·=(2 -3,-m)·(-2 -3,-m) =9-(2 )2+m2=0. ∴⊥,∴点M在以F1F2为直径的圆上. (3)S△F1MF2=×2c×|m|=c|m|=2 ×=6.

2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质讲义(含解析)苏教版选修2-1.doc

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