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doc 第2章 圆锥曲线与方程 [对应学生用书P46] 一、圆锥曲线的意义 1.椭圆 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆. (1)焦点:两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点. (2)焦距:两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 2.双曲线 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线. (1)焦点:两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点. (2)焦距:两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 3.抛物线 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 二、圆锥曲线的标准方程及几何性质 1.椭圆的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b 顶点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) 轴长 短轴长=2b,长轴长=2a 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 F1F2=2c 对称性 对称轴x轴,y轴,对称中心(0,0) 离心率 0<e<1 2.双曲线的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 2c 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 顶点 (±a,0) (0,±a) 对称性 关于x轴、y轴、坐标原点对称 轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b 渐近线方程 y=±x y=±x 离心率 e=>1 3. 抛物线的标准方程和几何性质 类型 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点 准线 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1 开口方向 向右 向左 向上 向下    三、圆锥曲线的统一定义 (1)定义:平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离比等于常数e的点的轨迹. 当0<e<1时,表示椭圆;当e>1时,表示双曲线;当e=1时,表示抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线. (2)对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆或双曲线,与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=-,x=. 四、曲线与方程 1.定义 如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线. 2.求曲线的方程的方法 (1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式. (2)代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式. (3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. (4)参数法:选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数,用参数表示动点的坐标(x,y),即得动点轨迹的参数方程,消去参数,可得动点轨迹的普通方程.   (时间120分钟,满分160分) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.将答案填在题中的横线上) 1.(江苏高考)双曲线-=1的两条渐近线的方程为________. 解析:令-=0,解得y=±x. 答案:y=±x 2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是________. 解析:因为抛物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为y=±x,所以所求距离为=. 答案: 3.方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则a的取值范围是________. 解析:由题意得 解之得a<,且a≠0, 即a的取值范围是(-∞,0)∪. 答案: 4.(辽宁高考)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________. 解析:由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0),所以P,Q都在双曲线的右支上,则有FP-PA=6,FQ-QA=6,两式相加,利用双曲线的定义得FP+FQ=28,所以△PQF的周长为FP+FQ+PQ=44. 答案:44 5.设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=2a2的一个交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且PF1=3PF2,则双曲线的离心率为________. 解析:由得PF1=3a,PF2=a, 设∠F1OP=α,则∠POF2=180°-α, 在△PF1O中, PF=OF+OP2-2OF1·OP·cos α ①, 在△OPF2中, PF=OF+OP2-2OF2·OP·cos(180°-α) ②, 由cos(180°-α)=-cos α与OP=a, ①+②得c2=3a2,∴e===. 答案: 6.已知动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是________. 解析:设P(x,y),动圆P在直线x=1的左侧,其半径等于1-x,则PC=1-x+1,即=2-x. ∴y2=-8x. 答案:y2=-8x 7.已知双曲C1=-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2,则抛物线C2的方程为________________________. 解析:∵双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的率心率为2.∴==2,∴b=a.∴双曲线的渐近线方程为 x±y=0.∴抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为=2. ∴p=8.∴所求的抛物线方程为x2=16y. 答案:x2=16y 8.过抛物线x2=8y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=8,则P1P2的值为________. 解析:由题意知p=4,由抛物线的定义得P1P2=P1F+P2F=+=(y1+y2)+p=8+4=12. 答案:12 9.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是________. 解析:∵椭圆+=1的右焦点为(1,0), ∴右焦点到直线x-3y=0的距离d==. 答案: 10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若AB=10,BF=8,cos∠ABF=,则C的离心率为________. 解析:在△ABF中,AF2=AB2+BF2-2AB·BF·cos∠ABF=102+82-2×10×8×=36,则AF=6.由AB2=AF2+BF2可知,△ABF是直角三角形,OF为斜边AB的中线,c=OF==5.设椭圆的另一焦点为F1,因为点O平分AB,且平分FF1,所以四边形AFBF1为平行四边形,所以BF=AF1=8.由椭圆的性质可知AF+AF1=14=2a⇒a=7,则e==. 答案: 11.(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为________. 解析:因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0, 所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2, 又a2=b2+c2,所以b=c=3.所以E的方程为+=1. 答案:+=1 12.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于__________________________. 解析:令直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2) 由得4x2-8x+1=0, ∴x1+x2=2,x1x2=, ∴AB= ==. 答案: 13.以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为________. 解析:如图,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),焦半径为c. 由题意知∠F1AF2=90°, ∠AF2F1=60°.∴AF2=c, AF1=2c·sin 60°=c. ∴AF1+AF2=2a=(+1)c. ∴e===-1. 答案:-1 14.给出如下四个命题:①方程x2+y2-2x+1=0表示的图形是圆;②椭圆+=1的离心率e=;③抛物线x=2y2的准线的方程是x=-;④双曲线-=-1的渐近线方程是y=±x. 其中所有不正确命题的序号是________. 解析:①表示的图形是一个点(1,0);②e=; ④渐近线的方程为y=±x. 答案:①②④ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)求与椭圆+=1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 解:椭圆+=1的焦点是(0,-5),(0,5),焦点在y轴上, 于是设双曲线方程是-=1(a>0,b>0), 又双曲线过点(0,2),∴c=5,a=2, ∴b2=c2-a2=25-4=21, ∴双曲线的标准方程是-=1,实轴长为4, 焦距为10,离心率e==, 渐近线方程是y=±x. 16.(本小题满分14分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程. 解:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),当直线l斜率不存在时,|AB|=4,不合题意.设直线l的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知k≠0, 则x1+x2=. 由抛物线定义知, |AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2, ∴x1+x2+2=8,即+2=8. 解得k=±1. 所以直线l的方程为y=±(x-1), 即x-y-1=0,x+y-1=0. 17.(本小题满分14分) 如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆C的离心率; (2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值. 解:(1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=. (2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线AB的方程为y=-(x-c). 代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得B. 所以|AB|=·|c-0|=c. 由S△AF1B=|AF1|·|AB|sin ∠F1AB=a·c·=a2=40,解得a=10,b=5. 法二:设AB=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义BF1+BF2=2a可知,BF1=3a-t. 由余弦定理得(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°可得, t=a. 由S△AF1B=a·a·=a2=40知, a=10,b=5. 18.(浙江高考)(本小题满分16分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程. 解:(1)由题意得 所以椭圆C1的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1. 又圆C2:x2+y2=4, 故点O到直线l1的距离d=, 所以AB=2=2 . 又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0. 由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-,y0=-1. 所以PD=. 设△ABD的面积为S,则S=AB·PD=, 所以S=≤=, 当且仅当k=±时取等号. 所以所求直线l1的方程为y=±x-1. 19.(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率. 解:(1)设M到直线l的距离为d,根据题意d=2|MN|. 由此得|4-x|=2, 化简得+=1, 所以,动点M的轨迹方程为+=1. (2)法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3, A(x1,y1),B(x2,y2). 将y=kx+3代入+=1中, 有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 其中Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0, 故k2>. 由根与系数的关系得, x1+x2=-,① x1x2=.② 又因为A是PB的中点,故x2=2x1,③ 将③代入①,②,得 x1=-,x=, 可得2=,且k2>, 解得k=-或k=, 所以直线m的斜率为-或. 法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). ∵A是PB的中点, ∴x1=,① y1=.② 又+=1,③ +=1,④

2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 章末小结 知识整合与阶段检测(含解析)苏教版选修2-1.doc

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