标签: 2018-2019学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2圆与方程2.2.1第二课时圆的一般方程课时作业苏教版必修2  
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doc 2.2.1 第二课时 圆的一般方程 [学业水平训练] 1.已知圆C:x2+y2-2x+2y-3=0,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为________. 解析:由x2+y2-2x+2y-3=0得,(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆心C(1,-1).设B(x0,y0),又A(0,1),由中点坐标公式得,解得,所以点B的坐标为(2,-3). 答案:(2,-3) 2.过点P(1,2)的直线l平分圆C:x2+y2+4x+6y+1=0的周长,则直线l的斜率为________. 解析:过点P(1,2)的直线l平分圆C的周长,则直线l过圆心(-2,-3),则直线l的斜率为k==. 答案: 3.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积是________. 解析:将x2+y2+kx+2y-4=0化为(x+)2+(y+1)2=5+,故圆心坐标是(-,-1),由题意知,直线x-y+1=0过圆心,故-+1+1=0,解得k=4,此时圆的半径为3,圆的面积是9π. 答案:9π 4.点A(1,0)在圆x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上,则a的值为________. 解析:∵点A在圆上,∴a应满足的条件为 ,即, 解得,∴a=-2. 答案:-2 5.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心的坐标是________. 解析:将x2+y2+kx+2y+k2=0化为(x+)2+(y+1)2=1-k2,可知当k=0时,圆的半径最大,即圆面积最大,此时圆心坐标是(0,-1). 答案:(0,-1) 6.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________. 解析:点(3,5)在圆内,最长弦AC即为该圆直径, ∴AC=10,最短弦BD⊥AC,∴BD=4, S四边形ABCD=AC·BD=20. 答案:20 7.试判断A(1,2),B(0,1),C(7,-6),D(4,3)四点是否在同一个圆上. 解:线段AB,BC的斜率分别是kAB=1,kBC=-1,得kAB≠kBC,则A,B,C三点不共线,设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为A,B,C三点在此圆上,所以,解得, 所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-8x+4y-5=0,将D点坐标(4,3)代入方程,得42+32-8×4+4×3-5=0,即点D在此圆上,故A,B,C,D四点在同一个圆上. 8.一圆经过A(4,2)和B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D. 同理圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E,由题意知-D-E=2. ① 又A,B在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0, ② 1+9-D+3E+F=0, ③ 由①②③联立方程组解得D=-2,E=0,F=-12.所以,所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. [高考水平训练] 1.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且PA=1,则P点的坐标(x,y)满足的方程是________. 解析:由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,所以点P的坐标(x,y)满足的方程是(x-1)2+y2=2. 答案:(x-1)2+y2=2 2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=PA2+PB2,则d的最大值及最小值分别为________、________. 解析:如图,设P点坐标为(x0,y0), ∴d=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2 =2(x+y)+2 =2PO2+2. 问题转化为求P点到原点O距离的最值, ∵O在圆外,∴OPmax=CO+1=5+1=6, POmin=CO-1=5-1=4. ∴dmax=2×62+2=74,dmin=2×42+2=34. 答案:74 34 3.已知曲线C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0, (1)当a取何值时,方程表示圆; (2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点; (3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值. 解:(1)当a=-1时,方程为x+2y=0,表示一条直线; 当a≠-1时,2+2=表示圆. (2)证明:方程变形为x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0. 对于a取任何值,上式成立,则有 解得或 ∴C过定点A(0,0),B. (3)由(2)曲线C过定点A、B,在这些圆中,当以AB为直径时,圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆,AB为弦,直径大于AB的长,圆的面积也大), 从而得以AB为直径圆的方程: 2+2=, ∴=,=,=, 解得a=. 4.在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围; (2)求圆C的方程; (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论. 解:(1)令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0,b); 令f(x)=x2+2x+b=0,由题意知b≠0且Δ>0, 解得b<1且b≠0. (2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令y=0得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程, 故D=2,F=b. 令x=0得y2+Ey+b=0,此方程有一个根为b,代入得出E=-b-1. 所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圆C必过定点,证明如下: 假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0与b无关),将该点代入圆C的方程,并变形为x+y+2x0-y0+b(1-y0)=0(*),为使(*)式对所有满足b<1且b≠0的b都成立,只需1-y0=0,结合(*)式得x+y+2x0-y0=0,解得 或. 经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆C上,因此圆C过定点.

2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程 2.2.1 第二课时 圆的一般方程课时作业 苏教版必修2.doc

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