标签: 2018-2019学年高中数学第2章平面解析几何初步单元测试苏教版必修2  
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doc 第2章 平面解析几何初步 (时间:120分钟,满分:160分) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上) 1.已知点A(1,),B(-1,3),则直线AB的倾斜角是________. 解析:直线AB的斜率为=-,则直线AB的倾斜角是120°. 答案:120° 2.两条平行线l1:3x+4y-2=0,l2:ax+6y=5间的距离为________. 解析:由l1∥l2得=,a=,所以l2的方程为3x+4y-=0.l1、l2间的距离d==. 答案: 3.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足________. 解析:2m2+m-3,m2-m不能同时为0,得m≠1. 答案:m≠1 4.直线l经过l1:x+y-2=0与l2:x-y-4=0的交点P,且过线段AB的中点Q,其中A(-1,3),B(5,1),则直线l的方程是________. 解析:法一:解方程组得点P(3,-1),又线段AB的中点Q(2,2),则直线l的方程为:=,即为3x+y-8=0. 法二:设直线l的方程为x+y-2+λ(x-y-4)=0,又线段AB的中点Q(2,2),代入所设方程得2-4λ=0,解得λ=,所以直线l的方程为x+y-2+(x-y-4)=0,即3x+y-8=0. 答案:3x+y-8=0 5.设集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2(r>0)},若M∩N=N,则实数r的取值范围是________. 解析:由题意得N⊆M,则圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切于圆x2+y2=4,或者内含于圆x2+y2=4,由圆心距与半径长的关系可得≤2-r,解得r≤2-.又r>0,所以实数r的取值范围是(0,2-]. 答案:(0,2-] 6.对于任意实数λ,直线(λ+2)x-(1+λ)y-2=0与点(-2,-2)的距离为d,则d的取值范围为________. 解析:无论λ取何值,直线都过定点(2,2),而点(2,2)与点(-2,-2)的距离为4,又点(-2,-2)不在已知直线上,故d>0,所以0<d≤4. 答案:0<d≤4 7.圆x2+y2-2x-3=0与直线y=ax+1交点的个数为________. 解析:直线y=ax+1恒过定点(0,1),而02+12-2×0-3<0,即点在圆内,所以直线与圆相交,有两个交点. 答案:2 8.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________. 解析:由题意知A、B两点在圆上, ∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心. 又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴kBC=-1. ∴直线BC的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3. y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0), ∴r=BC==. ∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2. 答案:(x-3)2+y2=2 9.等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,若点A、C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标是________. 解析:设B(x,y),根据题意可得, 即. 解得或, ∴B(2,0)或B(4,6). 答案:(2,0)或(4,6) 10.在平面直角坐标系xOy中,若曲线x=与直线x=m有且只有一个公共点,则实数m等于________. 解析:∵曲线x=,即为x2+y2=4(x≥0).其图形是如图所示的半圆. ∴直线x=m与半圆有且只有一个公共点时m=2. 答案:2 11.直线x-y+1=0与2x-2y-1=0是圆的两条切线,则该圆的面积是________. 解析:∵两平行直线间的距离即为圆的直径. ∴2R==, ∴R=, ∴S圆=πR2=π. 答案:π 12.已知点A(4,-3)与B(2,-1)关于直线l对称,在l上有一点P,使点P到直线4x+3y-2=0的距离等于2,则点P的坐标是________. 解析:由题意知线段AB的中点C(3,-2),kAB=-1,故直线l的方程为y+2=x-3,即y=x-5. 设P(x,x-5),则2=, 解得x=1或x=. 即点P的坐标是 (1,-4)或(,-). 答案:(1,-4)或(,-) 13.若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,则半径R的取值范围是________. 解析:圆心到直线的距离为2,又圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,结合图形可知,半径R的取值范围是1<R<3. 答案:(1,3) 14.函数f(x)=(x-2 012)(x+2 013)的图象与x轴、y轴有三个交点,有一个圆恰好通过这三个交点,则此圆与坐标轴的另一交点坐标是________. 解析:依题意得,函数f(x)=(x-2 012)(x+2 013)的图象与x轴、y轴的交点分别是A(-2 013,0)、B(2 012,0)、C(0,-2 012×2 013).设过A、B、C三点的圆与y轴的另一交点为D(0,y0),圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0,此方程的两根即为A、B两点的横坐标, ∴F=-2 013×2 012. 又令x=0,得y2+Ey-2 013×2 012=0,此方程的二根就是C、D两点的纵坐标, ∴y0×(-2 012×2 013)=-2 013×2 012,所以y0=1,即经过A、B、C三点的圆与y轴的另一个交点D的坐标是(0,1). 答案:(0,1) 二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)(2014·绍兴检测)已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P(1,1). (1)求直线l的方程; (2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标. 解:(1)∵k=tan 135°=-1, ∴l:y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)设A′(a,b), 则 解得a=-2,b=-1, ∴A′的坐标为(-2,-1). 16.(本小题满分14分)(2014·高安高一检测)过圆x2+y2=4外一点P(2,1)引圆的切线,求切线方程. 解:当切线斜率存在时,设切线的方程为y-1=k(x-2)即:kx-y-2k+1=0, ∵圆心(0,0)到切线的距离是2, ∴=2,解得k=-, ∴切线方程为-x-y++1=0, 即3x+4y-10=0. 当切线斜率不存在时,又x=2与圆也相切, 所以所求切线方程为3x+4y-10=0和x=2. 17.(本小题满分14分)已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相切,求实数m的值. 解:对于圆C1与圆C2的方程配方,得 圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4, 则C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2, 圆C1与圆C2相切包括两种情况:两圆外切与两圆内切. (1)当圆C1与圆C2相外切时,有C1C2=r1+r2, 即=5, 整理,得m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2; (2)当圆C1与圆C2相内切时,有C1C2=|r1-r2|, 即=1, 整理,得m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2. 综上所述,当m=-5或m=-1或m=±2时,圆C1与圆C2相切. 18.(本小题满分16分)已知圆C:x2+y2-2x-4y+m=0, (1)求实数m的取值范围; (2)若直线l:x+2y-4=0与圆C相交于M,N两点,且OM⊥ON,求m的值. 解:(1)由x2+y2-2x-4y+m=0得(x-1)2+(y-2)2=5-m,故5-m>0,即m<5. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2).直线OM,ON的斜率显然都存在,由OM⊥ON,得·=-1, 即x1x2+y1y2=0.① 由得5y2-16y+m+8=0.又因直线l与圆C交于M,N两点,所以Δ=162-20(m+8)>0,得m<,且y1+y2=,y1y2=,所以x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=.代入①,得m=,满足m<. 所以m=. 19.(本小题满分16分)已知圆C经过两点P(-1,-3),Q(2,6),且圆心在直线x+2y-4=0上,直线l的方程为(k-1)x+2y+5-3k=0. (1)求圆C的方程; (2)证明:直线l与圆C恒相交; (3)求直线l被圆C截得的最短弦长. 解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由条件,得, 解得, ∴圆C的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. (2)证明:由(k-1)x+2y+5-3k=0,得k(x-3)-(x-2y-5)=0, 令,得,即直线l过定点(3,-1), 由32+(-1)2-4×3-2×(-1)-20<0,知点(3,-1)在圆内, ∴直线l与圆C恒相交. (3)圆心C(2,1),半径为5,由题意知, 直线l被圆C截得的最短弦长为 2=4. 20.(本小题满分16分)如图,圆x2+y2=8内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦. (1)当α=135°时,求AB; (2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程; (3)设过P点的弦的中点为M,求点M的坐标所满足的关系式. 解:(1)如图所示,过点O做OG⊥AB于G,连结OA,当α=135°时,直线AB的斜率为-1, 故直线AB的方程为x+y-1=0, ∴OG==. 又∵r=2, ∴GA= ==, ∴AB=2GA=. (2)当弦AB被点P平分时,OP⊥AB,此时kOP=-2, ∴AB的点斜式方程为y-2=(x+1), 即x-2y+5=0. (3)设AB的中点为M(x,y),当AB的斜率存在时,设为k,OM⊥AB,则 消去k,得x2+y2-2y+x=0,当AB的斜率k不存在时也成立,故过点P的弦的中点M的轨迹方程为x2+y2-2y+x=0.

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