标签: 2018-2019学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理讲义(含解析)苏教版选修2-2  
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doc 2.1.2 演绎推理 看下面两个问题: (1)∅是任意非空集合的真子集,A是非空集合,所以∅是集合A的真子集; (2)循环小数是有理数,0.33是循环小数,所以0.33是有理数. 问题1:这两个问题中的第一句都说明什么? 提示:都说的一般原理. 问题2:第二句又说什么? 提示:都说的特殊示例. 问题3:第三句呢? 提示:由一般原理对特殊示例作出判断. 1.演绎推理 含义 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法. 特点 (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化. 2.三段论 一般模式 常用格式 大前提 提供了一个一般性的原理 M是P 小前提 指出了一个特殊对象 S是M 结论 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系 S是P 1.演绎推理是由一般到特殊的推理,一种必然性的推理,这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以其前提与结论之间的联系是必然的. 2.三段论中大前提是一个一般性结论,是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论.要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中有一个错误,结论就不正确. 把演绎推理写成三段论 [例1] 将下面的演绎推理写成三段论的形式: (1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1),曲线C:+y2=1是椭圆,所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1). (2)等比数列的公比都不为零,数列{2n}(n∈N*)是等比数列,所以数列{2n}的公比不为零. [思路点拨] 这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可. [精解详析] (1)大前提:所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1). 小前提:曲线C:+y2=1是椭圆. 结论:曲线C的离心率e的取值范围为(0,1). (2)大前提:等比数列的公比都不为零. 小前提:数列{2n}(n∈N*)是等比数列. 结论:数列{2n}的公比不为零. [一点通] 演绎推理的重要形式是三段论,分清大前提、小前提和结论是解题的关键.大前提是给出一般性的原理,小前提是指出特殊对象,结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果. 1.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不是对顶角,则此两角不相等. (3)0.332是有理数. (4)y=sin x(x∈R)是周期函数. 解:(1)因为菱形的对角线相互垂直,(大前提) 正方形是菱形,(小前提) 所以正方形的对角线相互垂直.(结论) (2)如果两个角是对顶角,则这两个角相等,(大前提) ∠1和∠2不是对顶角,(小前提) 所以∠1和∠2不相等.(结论) (3)因为所有的有限小数是有理数,(大前提) 0.332是有限小数,(小前提) 所以0.332是有理数.(结论) (4)因为三角函数是周期函数,(大前提) y=sin x(x∈R)是三角函数,(小前提) 所以y=sin x是周期函数.(结论) 2.指出下列各演绎推理中的大前提、小前提,并判断结论是否正确. (1)a∥b一定有a=λb(λ∈R),向量c与向量d平行,所以c=λd. (2)指数函数y=ax(0<a<1)是减函数,而y=x是指数函数,所以y=x是减函数. 解:(1)大前提:a∥b一定有a=λb(λ∈R). 小前提:向量c与向量d平行. 结论是错误的,原因是大前提错误. 因为当a≠0,b=0时a∥b, 这时找不到实数λ使得a=λb. (2) 大前提:指数函数y=ax(0<a<1)是减函数. 小前提:y=x是指数函数. 结论是正确的.因为大前提、小前提均是正确的. 利用三段论证明数学问题 [例2] 在平面四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,求证:四边形ABCD为平行四边形.写出三段论形式的演绎推理. [思路点拨] 原题可用符号表示为:AB=CD且BC=AD⇒四边形ABCD为平行四边形.用演绎推理来证明命题的方法,也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实.为了证明这个命题为真,我们只需在前提(AB=CD且BC=AD)为真的情况下,以已知公理、已知定义、已知定理为依据,根据推理规则,导出结论为真. [精解详析] (1)连结AC. (2)AB=CD,(已知) BC=AD,(已知) CA=AC. (3)平面几何中的边边边定理是:有三边对应相等的两个三角形全等.这一定理相当于: 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相等,则这两个三角形全等;(大前提) △ABC和△CDA的三边对应相等;(小前提) △ABC与△CDA全等.(结论) 符号表示: AB=CD且BC=DA且CA=AC⇒△ABC≌△CDA. (4)由全等三角形的性质可知:全等三角形的对应角相等.这一性质相当于: 对于任意两个三角形,如果它们全等,则它们的对应角相等;(大前提) △ABC和△CDA全等;(小前提) 它们的对应角相等,即∠1=∠2,∠3=∠4.(结论) (5)内错角相等,两直线平行;(大前提) ∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD 与BC被AC所截得到的内错角;(小前提) AB∥CD,AD∥BC.(结论) (6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形;(大前提) 四边形ABCD的两组对边分别平行;(小前提) 四边形ABCD是平行四边形.(结论) [一点通] 应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论. 常见的解题错误: ①条件理解错误(小前提错); ②定理引入和应用错误(大前提错); ③推理过程错误等. 3.设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=________. 解析:∵由题意可得,++=10, ∴a2+b2+c2+++-ax-by-cz=0, 即2+2+2=0. ∴a=,b=,c=. ∴==. 答案: 4.梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角. 已知:在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线. 求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA. 证明:(1)等腰三角形两底角相等,(大前提) △DAC是等腰三角形,DA,DC为两腰,(小前提) ∴∠1=∠2.(结论) (2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等,(大前提) ∠1和∠3是平行线AD,BC被AC截出的内错角,(小前提), ∴∠1=∠3.(结论) (3)等于同一个量的两个量相等,(大前提) ∠2和∠3都等于∠1,(小前提) ∴∠2=∠3.(结论)即AC平分∠BCD. (4)同理DB平分∠CBA. 5.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EDB⊥平面ABD.求证:AB⊥DE. 证明:在△ABD中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°, ∴BD= =2, ∴AB2+BD2=AD2, ∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD, 平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD, ∴AB⊥平面EBD. ∵DE⊂平面EBD, ∴AB⊥DE. 合情推理 演绎推理 区别 定义 根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果),以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程 根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 思维方法 归纳、类比 三段论 推理形式 由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理 由一般到特殊的推理 结论 结论不一定正确,有待于进一步证明 在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确 作用 具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,利于创新意识的培养 按照严格的逻辑法则推理,利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力 联系 合情推理与演绎推理是相辅相成的,数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理;数学结论、猜想的正确性必须通过逻辑推理来证明 一、填空题 1.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提_____________________________________________________________________; 小前提_____________________________________________________________________; 结论______________________________________________________________________. 答案:一次函数的图象是一条直线 函数y=2x+5是一次函数 函数y=2x+5的图象是一条直线. 2.“指数函数y=ax(a>1)是增函数,y=xα(α>1)是指函数,所以y=xα(α>1)是增函数”,在以上演绎推理中,下列说法正确的命题序号是________. ①推理完全正确 ②大前提不正确 ③小前提不正确 ④推理形式不正确 解析:∵y=xα(α>1)是幂函数,而不是指数函数,∴小前提错误. 答案:③ 3.“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数,{bn}的前n项和为Sn=n2+3n.所以{bn}为等差数列”.上述推理中,下列说法正确的序号是________. ①大前提错误 ②小前提错误 ③结论错误 ④正确 解析:该推理过程中,大前提、小前提、结论都正确. 答案:④ 4.三段论“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的.”中的小前提是序号________. 解析:该推理的大前提是①,小前提是③,结论是②. 答案:③ 5.α<0,幂函数y=xα的图象在区间(0,+∞)上是减函数,y=x-2是幂函数,由“三段论”可得结论________. 解析:“三段论”的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实,结合大前提,小前提可得答案. 答案:y=x-2的图象在区间(0,+∞)上是减函数 二、解答题 6.将下面的演绎推理写成三段论的形式: (1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾. (2)两直线平行,同位角相等,如果∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角,则∠A=∠B. 解:(1)大前提:在一个标准大气压下,水的沸点是100℃, 小前提:在一个标准大气压下把水加热到100℃, 结论:水会沸腾. (2)大前提:两条直线平行,同位角相等. 小前提:∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角. 结论:∠A=∠B. 7.已知函数f(x)=(ax-a-x),其中a>0,且a≠1. (1)判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明; (2)判断f(2)-2与f(1)-1,f(3)-3与f(2)-2的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明. 解:(1)由已知得f′(x)=(ax+a-x)>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. (2)f(2)-2>f(1)-1,f(3)-3>f(2)-2. 一般的结论:f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*). 证明如下: 上述不等式等价于f(n+1)-f(n)>1,即>1, 化简得(an+1-1)(an-1)>0, 在a>0且a≠1的条件下,(an+1-1)(an-1)>0显然成立, 故f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*)成立. 8.已知{an}是各项均为正数的等差数列.lg a1、lg a2、lg a4成等差数列,又bn=(n=1,2,3,…).证明:{bn}为等比数列. 证明:∵lg a1、lg a2、lg a4成等差数列, ∴2lg a2=lg a1+lg a4,即a=a1a4. 若{an}的公差为d, 即(a1+d)2=a1(a1+3d),a1d=d2, 从而d(d-a1)=0. ①若d=0,{an}为常数列,相应{bn}也是常数列,此时{bn}是首项为正数,公比为1的等比数列. ②若d=a1≠0, 则a2n=a1+(2n-1)d=2nd,bn==. 这时{bn}是首项b1=,公比为的等比数列. 综上,{bn}为等比数列.

2018-2019学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理讲义(含解析)苏教版选修2-2.doc

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