标签: 2018-2019学年高中数学第2章统计案例滚动训练苏教版选修1-2  
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doc 第2章统计案例 滚动训练一(2.1~2.2) 一、填空题 1.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,….根据上述规律,第五个等式为________________. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 13+23+33+43+53+63=212 解析 由所给等式可得,等式两边的幂式指数规律明显,底数关系如下, 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10, 即左边底数的和等于右边的底数,故第五个等式为 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212. 2.三段论“所有的无理数都不能表示成分数形式,故π不能表示成分数形式”中,小前提是________. 答案 π是无理数 解析 此三段论中,第一句是大前提,第二句是结论,又根据三段论的格式知,小前提是“π是无理数”. 3.古埃及数学中有一个独特现象:除了用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如=+.可以这样来理解:假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分将剩余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得+.同理可得=+,=+,…,按此规律,则=________,=________(n=5,7,9,11,…). 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 + + 解析 由=+,=+,=+,得当n=5,7,9时,等号右边第一个分数的分母分别为3,4,5,第二个分数的分母分别是等号左边分数的分母与等号右边第一个分数分母的乘积. 4.完成反证法证题的全过程. 题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明:假设p为奇数,则________均为奇数.① 因为7个奇数之和为奇数,故有 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为________.② 而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=________.③ ②与③矛盾,故p为偶数. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 a1-1,a2-2,…,a7-7 奇数 0 解析 由假设p为奇数可知,(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0为奇数,这与0为偶数相矛盾. 5.周长一定的平面图形中圆的面积最大,将这个结论类比到空间,可以得到的结论是________________________________. 答案 表面积一定的空间几何体中,球的体积最大 解析 平面图形中的圆类比空间几何体中的球,周长类比表面积,面积类比体积. 故可以得到的结论是:表面积一定的空间几何体中,球的体积最大. 6.设S,V分别表示表面积和体积,如△ABC的面积用S△ABC表示,三棱锥O-ABC的体积用VO-ABC表示,对于命题:如果O是线段AB上一点,则||·+||·=0.将它类比到平面的情形时,应该有:若O是△ABC内一点,有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0.将它类比到空间的情形时,应该有:若O是三棱锥A-BCD内一点,则有______________________. 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0 7.已知点A(x1,),B(x2,)是函数y=3x的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论>成立.运用类比推理可知,若点A(x1,tanx1),B(x2,tanx2)是函数y=tanx的图象上任意不同两点,则类似地有__________________________成立. 考点 类比推理的应用 题点 平面曲线之间的类比 答案 <tan 解析 因为y=tanx图象是上凸的, 因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y=tanx图象上的点的纵坐标,即有<tan成立. 8.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长,其中只有一位当选.有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙当选”,乙说:“甲、丙都未当选”,丙说:“我当选了”,丁说:“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的,则当选的同学是________. 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面中的应用 答案 丙 解析 若甲当选,则都说假话,不合题意. 若乙当选,则甲、乙、丁都说真话,丙说假话,不符合题意. 若丁当选,则甲、丙、丁都说假话,乙说真话,不符合题意. 故当选的同学是丙. 9.比较大小知+>+,分析其结构,请你再写出一个不等式,使以上不等式为它的特殊情况.若0<a<b<c<d,且a+d=c+b,则该不等式可以是________________. 答案 +>+ 解析 对不等式+>+,分析其结构,发现:0<5<6<7<8,且5+8=7+6,于是当0<a<b<c<d,且a+d=c+b时,可写出一个不等式为+>+,不等式+>+为它的特殊情况. 10.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明此命题时,可假设p+q≥2; (2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1. 以下结论正确的是________.(填序号) ①(1)与(2)的假设都错误; ②(1)与(2)的假设都正确; ③(1)的假设正确,(2)的假设错误; ④(1)的假设错误,(2)的假设正确. 答案 ④ 解析 反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题(1)结论的反面应为“p+q>2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一根的绝对值大于或等于1”. 11.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c=________. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 201 解析 因为三个关系中只有一个正确,分三种情况讨论:若①正确,则②③不正确,得到由于集合{a,b,c}={0,1,2},所以解得a=b=1,c=0或a=1,b=c=0或b=1,a=c=0,与互异性矛盾; 若②正确,则①③不正确,得到与互异性矛盾; 若③正确,则①②不正确,得到则符合题意,所以100a+10b+c=201. 二、解答题 12.求证:不论x,y取何非零实数,等式+=总不成立. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设存在非零实数x,y使得等式+=成立. 于是有y(x+y)+x(x+y)=xy,即x2+y2+xy=0, 即2+y2=0. 由y≠0,得y2>0. 又2≥0, 所以2+y2>0. 与x2+y2+xy=0矛盾,故原命题成立. 13.设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8. 证明 ∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1=a+b≥2,≤,ab≤, ∴≥4, 又+=(a+b)=2++≥4. ∴++≥8. 三、探究与拓展 14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式: 三角形数 N(n,3)=n2+n, 正方形数 N(n,4)=n2, 五边形数 N(n,5)=n2-n, 六边形数 N(n,6)=2n2-n, …… 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=________. 答案 1000 解析 N(n,k)=akn2+bkn(k≥3),其中数列{ak}是以为首项,为公差的等差数列,数列{bk}是以为首项,-为公差的等差数列,所以N(n,24)=11n2-10n,当n=10时,N(10,24)=11×102-10×10=1000. 15.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n∈N*,其中A,B为常数. (1)求A与B的值; (2)证明:数列{an}为等差数列. (1)解 由已知得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,得 即 解得 (2)证明 由(1)得 (5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8.① 所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28.② ②-①,得(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20.③ 所以(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因为an+1=Sn+1-Sn, 所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 因为5n+2≠0,所以an+3-2an+2+an+1=0. 所以an+3-an+2=an+2-an+1,n∈N*. 又a3-a2=a2-a1=5, 所以数列{an}为等差数列.

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