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doc 第3章 数系的扩充与复数的引入 章末检测试卷(三) (时间:120分钟 满分:160分) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.i是虚数单位,复数=________. 答案 1+2i 解析 ===1+2i. 2.已知a是实数,是纯虚数,则a=________. 答案 1 解析 ==是纯虚数,则a-1=0,a+1≠0,解得a=1. 3.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=________. 答案 -5 解析 ∵z1=2+i在复平面内对应点(2,1), 又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称, 则z2的对应点为(-2,1),则z2=-2+i, ∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5. 4.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=________. 答案 2+i 解析 ∵(x-i)i=y+2i,xi-i2=y+2i, ∴y=1,x=2,∴x+yi=2+i. 5.设a,b为实数,若复数=1+i,则a,b的值分别为________. 答案 , 解析 ∵=1+i, ∴a+bi===, ∴a=,b=. 6.已知z是纯虚数,是实数,那么z=________. 答案 -2i 解析 设z=bi(b∈R,b≠0),则====+i是实数, 所以b+2=0,b=-2,所以z=-2i. 7.已知复数w满足w-1=(1+w)i(i为虚数单位),则w=________. 答案 i 解析 ∵复数w满足w-1=(1+w)i(i为虚数单位), ∴w====i. 8.若a-i与2+bi(a,b∈R)互为共轭复数,则(a+bi)2=________. 答案 3+4i 解析 根据已知得a=2,b=1, 所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. 9.复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中,A,B,C所对应的复数分别为2+3i,3+2i,-2-3i,则点D对应的复数是________. 答案 -3-2i 解析 由复数的几何意义知,A(2,3),B(3,2),C(-2,-3).设D(x,y),由=, ∴(3-2,2-3)=(-2-x,-3-y), 则 解得 ∴点D对应的复数为-3-2i. 10.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在第________象限. 答案 一 解析 设复数z=a+bi(a,b∈R), 由题意可得定义运算=ad-bc, 所以=z(1+i)-(1+2i)(1-i)=0, 代入整理可得(a-b)+(a+b)i=3+i, 解得a=2,b=-1, 所以z=2-i,所以=2+i, 所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限. 11.在复平面内,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是________. 答案 (3,4) 解析 ∵z=m2-4m+(m2-m-6)i所对应的点在第二象限,∴解得3<m<4. 12.已知m,n∈R,若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,复数z=m+ni的对应点在直线x+y-2=0上,则|z|=________. 答案 2 解析 由纯虚数的定义知 解得m=4,所以z=4+ni. 因为z对应的点在直线x+y-2=0上, 所以4+n-2=0,所以n=-2. 所以z=4-2i, 所以|z|==2. 13.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·=________. 答案  解析 z=-(-i),|z|=, ∴z·=|z|2=. 14.复数z满足|z+1|+|z-1|=2,则|z+i+1|的最小值是________. 答案 1 解析 由|z+1|+|z-1|=2,根据复数减法的几何意义可知,复数z对应的点到两点(-1,0)和(1,0)的距离和为2,说明该点在线段y=0(x∈[-1,1])上,而|z+i+1|为该点到点(-1,-1)的距离,其最小值为1. 二、解答题(本大题共6小题,共90分) 15.(14分)计算:(1); (2)(1+i)(-1-i)(+i)(1+i). 解 (1)原式= == ===-1+i. (2)原式=-2i(+i2+3i+i) =-2i·4i=-8i2=8. 16.(14分)求实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零. 解 由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. (1)当k2-5k-6=0时,z∈R, ∴k=6或k=-1. 即当k=6或k=-1时,z是实数. (2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1. 即当k≠6且k≠-1时,z是虚数. (3)当时,z是纯虚数, ∴k=4. 即当k=4时,z是纯虚数. (4)当时,z=0,解得k=-1. 即当k=-1时,z=0. 17.(14分)已知复数z=2+bi(i为虚数单位),b为正实数,且z2为纯虚数. (1)求复数z; (2)若复数ω=,求ω的模. 解 (1)由z=2+bi,得z2=(2+bi)2=4-b2+4bi, ∵z2为纯虚数,∴得b=±2, 又b>0,∴b=2,则z=2+2i. (2)ω====2i, ∴|ω|=2. 18.(16分)已知z1=m2+i,z2=(2m-3)+i,m∈R,i为虚数单位,且z1+z2是纯虚数. (1)求实数m的值; (2)求z1·的值. 解 (1)z1+z2=(m2+2m-3)+i, ∵z1+z2是纯虚数,∴则m=1. (2)由(1)得z1=1+i,z2=-1+i, 则=-1-i, ∴z1·= =-2=-=--i. 19.(16分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 解 (1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi, 由题意得a2+b2=2且2ab=2, 解得a=b=1或a=b=-1, 所以z=1+i或z=-1-i. (2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1. 当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以S△ABC=×2×1=1. 综上,S△ABC=1. 20.(16分)已知复数z1=i(1-i)3. (1)求|z1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值. 解 (1)|z1|=|i(1-i)3|=|2-2i|==2. (2)如图所示, 由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1对应着坐标系中的点Z1(2,-2). 所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值. 由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆的半径)=2+1.

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