标签: 2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学案新人教A版必修4  
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doc 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(难点). 知识点 正弦函数、余弦函数的图象 函数 y=sin x y=cos x 图象 图象画法 “五点法” “五点法” 关键 五点 (0,0),(,1), (π,0),(,-1), (2π,0) (0,1),(,0), (π,-1),(,0), (2π,1) 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦函数y=sin x的图象向左右和上下无限伸展.(  ) (2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同.(  ) (3)函数y=cos x的图象关于(0,0)对称.(  ) 提示 (1)×,正弦函数y=sin x的图象向左右无限伸展,但上下限定在直线y=1和y=-1之间. (2)×,二者图象不同,而是关于x轴对称. (3)×,函数y=cos x的图象关于y轴对称. 题型一 “五点法”作图的应用 【例1】 利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 解 (1)取值列表: X 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 (2)描点连线,如图所示: 规律方法 用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 (1)列表: x 0 π 2π sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或-1) -1 (或0) 0(或1) y b (或A+b) A+b (或b) b(或 -A+b) -A+b (或b) b (或A+b) (2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y1),,(π,y3),,(2π,y5),这里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的. (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接. 【训练1】 利用“五点法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 解 (1)取值列表如下: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 -1-cos x -2 -1 0 -1 -2 (2)描点连线,如图所示. 题型二 利用正弦、余弦函数图象解不等式 【例2】 利用正弦曲线,求满足<sin x≤的x的集合. 解 首先作出y=sin x在[0,2π]上的图象.如图所示,作直线y=,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为和; 作直线y=,该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知,在[0,2π]上,当<x≤,或≤x<时,不等式<sin x≤成立. 所以<sin x≤的解集为,. 规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象; (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集; (3)根据公式一写出不等式的解集. 【训练2】 求函数f(x)=lg cos x+的定义域. 解 由题意,得x满足不等式组 即作出y=cos x的图象,如图所示. 结合图象可得: x∈∪∪. 互动 探究  题型三 正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题 【探究1】 当x∈[0,4π]时,解不等式sin x≥0. 解 由函数y=sin x,x∈[0,4π]的图象可知,不等式sin x≥0的解集为[0,π]∪[2π,3π]. 【探究2】 作出函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,4π]的图象. 解 易知f(x)= 则f(x)的图象如图所示: 【探究3】 求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0解的个数. 解 在同一坐标系内作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象如图所示,易知f(x)与g(x)的图象有四个交点,故所给方程有四个根. 规律方法 判断方程解的个数的关注点 (1)确定方程解的个数问题,常借助函数图象用数形结合的方法求解. (2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时,要注意其相对位置,常借助于函数值的大小来确定. 【训练3】 方程x2-cos x=0的实数解的个数是________. 解析 作函数y=cos x与y=x2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解. 答案 2 课堂达标 1.函数y=-sin x,x∈的简图是(  ) 解析 函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称,故选D. 答案 D 2.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(  ) A.重合 B.形状相同,位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同 解析 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同. 答案 B 3.不等式cos x<0,x∈[0,2π]的解集为________. 解析 由函数y=cos x的图象可知,不等式cos x<0[0,2π]的解集为(,). 答案 (,) 4.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-的交点有________个. 解析 作y=cos x,x∈[0,2π]的图象及直线y=-(图略),知两函数图象有两个交点. 答案 两 5.利用“五点法”作出下列函数的图象: (1)y=2-sin x(0≤x≤2π);(2)y=-2cos x+3(0≤x≤2π). 解 利用“五点法”作图 (1)列表: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 2-sin x 2 1 2 3 2 描点并用光滑的曲线连接起来,如图所示. (2)列表: X 0 π 2π -2cos x -2 0 2 0 -2 -2cos x+3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数y=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象: 课堂小结 1.对“五点法”画正弦函数图象的理解 (1)与前面学习函数图象的画法类似,在用描点法探究函数图象特征的前提下,若要求精度不高,只要描出函数图象的“关键点”,就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图. (2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点. 2.作函数y=asin x+b的图象的步骤 基础过关 1.用“五点法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是(  ) A.0,,π,,2π B.0,,,,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,, 解析 由“五点法”可知选A. 答案 A 2.方程sin x=的根的个数是(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析 在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示: 根据图象可知方程有7个根. 答案 A 3.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为(  ) 解析 由题意得 y= 显然只有D合适. 答案 D 4.若sin x=2m+1且x∈R,则m的取值范围是________. 解析 ∵sin x∈[-1,1],∴-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0. 答案 [-1,0] 5.不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集为________. 解析 如图所示,不等式sin x<-的解集为. 答案  6.用“五点法”作出下列函数的简图. (1)y=2sin x,x∈[0,2π];(2)y=sin(x+),x∈[-,]. 解 (1)列表: x 0 π π 2π 2sin x 0 2 0 -2 0 描点、连线、绘图,如图所示. (2)①列表: x+ 0 π π 2π x - π π π sin 0 1 0 -1 0 ②描点连线如图. 7.根据y=cos x的图象解不等式: -≤cos x≤,x∈[0,2π]. 解 函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为 {x|≤x≤或≤x≤}. 能力提升 8.如图所示,函数y=cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是(  ) 解析 当0≤x<时,y=cos x·|tan x|=sin x; 当<x≤π时,y=cos x·|tan x|=-sin x; 当π<x<时,y=cos x·|tan x|=sin x, 故其图象为C. 答案 C 9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是(  ) A.4 B.8 C.2π D.4π 解析 作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π, ∴S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π. 答案 D 10.函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是________________. 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=图象,由图象易得:-<x<0或+2kπ<x<π+2kπ,k∈N. 答案  11.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为________. 解析 由得cos x=0, 当x∈[0,2π]时,x=或. ∴交点为,. 答案 , 12.用“五点法”作出函数y=1-cos x的简图. 解 (1)列表 x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 1-cos x 1 1 (2)描点,连线可得函数在[0,2π]上的图象,将函数图象向左,向右平移(每次2π个单位长度),就可以得到函数y=1-cos x的图象,如图所示. 13.(选做题)若方程sin x=在x∈[,π]上有两个实数根,求a的取值范围. 解 在同一直角坐标系中作出y=sin x,x∈的图象,y=的图象,由图象可知,当≤<1,即-1<a≤1-时,y=sin x,x∈的图象与y=的图象有两个交点,即方程sin x=在x∈上有两个实根.

2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案 新人教A版必修4.doc

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