标签: 2018-2019学年高中数学第一章三角函数3弧度制学案北师大版必修4  
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doc §3 弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式. 知识点一 角度制与弧度制 思考1 在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的? 答案 周角的等于1度. 思考2 在弧度制中,1弧度的角是如何规定的,如何表示? 答案 在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角,用符号rad表示. 思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗? 答案 在半径为1的圆中,1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角,又当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关. 梳理 (1)角度制和弧度制 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制,规定1度的角等于周角的 弧度制 在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制 (2)角的弧度数的计算 设r是圆的半径,l是圆心角α所对的弧长,则角α的弧度数的绝对值满足|α|=. 知识点二 角度制与弧度制的换算 思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制,它们之间如何进行换算呢? 答案  利用1°= rad和1 rad=进行弧度与角度的换算. 梳理 (1)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57.30°=57°18′ (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 知识点三 扇形的弧长及面积公式 思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 答案 设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角的弧度数,则S=lr,l=αr. 梳理 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l= l=αr 扇形的面积 S= S=lr=αr2 1.1 rad的角和1°的角大小相等.( × ) 提示 1 rad的角和1°的角大小不相等,1°= rad. 2.用弧度来表示的角都是正角.( × ) 提示 弧度也可表示负角,负角的弧度数是一个负数. 3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( √ ) 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关. 类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°;(2)-15°;(3);(4)-. 考点 弧度制 题点 角度与弧度的互化 解 (1)20°==. (2)-15°=-=-. (3)=×180°=105°. (4)-=-×180°=-396°. 反思与感悟 将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,牢记π rad=180°即可求解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以即可. 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度; (2)把-化成度. 考点 弧度制 题点 角度与弧度的互化 解 (1)112°30′=°=×=. (2)-=-°=-75°. 类型二 用弧度制表示终边相同的角 例2 把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角. (1)-1 500°;(2);(3)-4. 考点 弧度制的应用 题点 弧度制的应用 解 (1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-5×360°+300°. ∴-1 500°可化成-10π+,是第四象限角. (2)∵=2π+, ∴与终边相同,是第四象限角. (3)∵-4=-2π+(2π-4),<2π-4<π. ∴-4与2π-4终边相同,是第二象限角. 反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练2 (1)把-1 480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α≤2π; (2)在[0°,720°]内找出与角终边相同的角. 考点 弧度制的应用 题点 用弧度制表示终边相同的角 解 (1)∵-1 480°=-1 480×=-, 而-=-10π+,且0≤α≤2π,∴α=. ∴-1 480°=+2×(-5)π. (2)∵=×°=72°, ∴终边与角的终边相同的角为θ=72°+k·360°(k∈Z), 当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°. ∴在[0°,720°]内与角终边相同的角为72°,432°. 类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 例3 (1)若扇形的中心角为120°,半径为,则此扇形的面积为(  ) A.π B. C. D. (2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4,那么这个圆心角所对的弧长为(  ) A.2 B. C.2sin 1 D. 考点 扇形的弧长及面积 题点 扇形的弧长及面积公式的应用 答案 (1)A (2)D 解析 (1)扇形的中心角为120°=,半径为, 所以S扇形=|α|r2=××()2=π. (2)连接圆心与弦的中点,则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形,半弦长为2,其所对的圆心角也为2,故半径长为. 这个圆心角所对的弧长为2×=. 反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式:一是S=lr=|α|r2,二是l=|α|r,如果已知其中两个,就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度,再计算. 跟踪训练3 一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数. 考点 扇形的弧长及面积 题点 扇形的弧长及面积公式的应用 解 设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4, ∴l=4-2R,根据扇形面积公式S=lR, 得1=(4-2R)·R, ∴R=1,∴l=2,∴α===2, 即扇形的圆心角为2 rad. 1.下列说法中,错误的是(  ) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 考点 弧度制 题点 对弧度制概念的理解 答案 D 解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的,故选D. 2.时针经过一小时,转过了(  ) A. rad B.- rad C. rad D.- rad 考点 弧度制 题点 角度与弧度的互化 答案 B 解析 时针经过一小时,转过-30°, 又-30°=- rad,故选B. 3.若θ=-5,则角θ的终边在(  ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 考点 弧度制的应用 题点 用弧度制表示终边相同的角 答案 D 解析 2π-5与-5的终边相同, ∵2π-5∈, ∴2π-5是第一象限角,则-5也是第一象限角. 4.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形圆心角的弧度数是(  ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 考点 扇形的弧长及面积 题点 扇形的弧长及面积公式的应用 答案 C 解析 设扇形半径为r,圆心角的弧度数为α, 则由题意得∴或 5.已知扇形AOB的圆心角α为,半径长R为6,求: (1)弧AB的长; (2)扇形所含弓形的面积. 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用 解 (1)l=α·R=×6=4π,所以弧AB的长为4π. (2)S扇形OAB=lR=×4π×6=12π. 如图所示,过点O作OD⊥AB,交AB于点D,=120°, 所以∠AOD=60°,∠DAO=30°, 于是有S△OAB=×AB×OD=×2×6cos 30°×6sin 30°=9. 所以弓形的面积为S扇形OAB-S△OAB=12π-9. 1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π rad”这一关系式. 易知:度数× rad=弧度数,弧度数×=度数. 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,在具体应用时,要注意角的单位取弧度. 一、选择题 1.下列与的终边相同的角的表达式中,正确的是(  ) A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 考点 弧度制的应用 题点 用弧度制表示终边相同的角 答案 C 解析 A,B中弧度与角度混用,不正确. =2π+,所以与的终边相同. -315°=-360°+45°, 所以-315°也与45°的终边相同.故选C. 2.下列转化结果错误的是(  ) A.60°化成弧度是 B.-π化成度是-600° C.-150°化成弧度是-π D.化成度是15° 考点 弧度制 题点 角度与弧度的互化 答案 C 解析 C项中-150°=-150×=-π. 3.设角α=-2弧度,则α所在的象限为(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点 弧度制的应用 题点 角所在象限的判断 答案 C 解析 ∵-π<-2<-, ∴2π-π<2π-2<2π-, 即π<2π-2<π, ∴2π-2为第三象限角, ∴α为第三象限角. 4.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是(  ) A.-π B.-2π C.π D.-π 考点 弧度制的应用 题点 用弧度制表示终边相同的角 答案 A 解析 ∵-π=-2π+=2×(-1)π+, ∴θ=-π. 5.若扇形圆心角为,则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为(  ) A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9 考点 扇形的弧长与面积 题点 扇形的弧长与面积公式的应用 答案 B 解析 设扇形的半径为R,扇形内切圆半径为r, 则R=r+=r+2r=3r. ∴S内切圆=πr2, S扇形=αR2=××9r2=πr2. ∴S内切圆∶S扇形=2∶3. 6.已知一段圆弧的长度等于其所在圆的内接正方形的边长,则这段圆弧对应的圆心角的弧度数为(  ) A. B. C. D. 考点 弧度制 题点 弧度制的综合应用 答案 C 解析 设圆内接正方形的边长为a,则该圆的半径为a,所以圆心角α==,故选C. 二、填空题 7.(2017·陕西榆林一中月考)圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是 . 考点 扇形的弧长与面积公式 题点 扇形的弧长公式 答案 2 解析 设圆的半径为r,其外切正三角形的边长为a, 则r=××a=a,又弧长为a, 所以圆心角为α====2. 8.已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B= . 考点 弧度制的应用 题点 弧度制与集合的综合 答案 [-4,-π]∪[0,π] 解析 如图所示, ∴A∩B=[-4,-π]∪[0,π]. 9.若2π<α<4π,且α与-π角的终边垂直,则α= . 考点 弧度制的应用 题点 用弧度制表示终边相同的角 答案 π或π 解析 α=-π-+2kπ=2kπ-π,k∈Z, ∵2π<α<4π,∴k=2,α=π; 或者α=-π++2kπ=2kπ-π,k∈Z, ∵2π<α<4π,∴k=2,α=π. 综上,α=π或π. 10.如果圆心角为的扇形所对的弦长为2,则扇形的面积为 . 考点 扇形的弧长与面积 题点 扇形的弧长与面积公式的应用 答案  解析 如图,作BF⊥AC. 已知AC=2,∠ABC=,则AF=,∠ABF=. ∴AB==2,即扇形的半径R=2. ∴弧长l=|α|R=,∴S=lR=. 三、解答题 11.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是30,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 考点 扇形的弧长与面积 题点 扇形的弧长与面积公式的应用 解 (1)设弧长为l,弓形面积为S弓. ∵α=60°=,R=10 cm,∴l=αR= (cm). S弓=S扇-S△=××10-2××10×sin ×10×cos =50 (cm2). (2)∵l+2R=30,∴l=30-2R, 从而S=·l·R=(30-2R)·R=-R2+15R=-2+. ∴当半径R= cm时,l=30-2×=15(cm), 扇形面积的最大值是 cm2,这时α==2(rad). ∴当扇形的圆心角为2 rad,半径为 cm时,面积最大,为 cm2. 12.已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角; (2)在区间[-4π,π]上找出与α终边相同的角. 考点 弧度制的应用 题点 用弧度制表示终边相同的角 解 (1)∵α=1 200°=1 200×==3×2π+, 又<<π, ∴角α与的终边相同,且角α是第二象限的角. (2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+,k∈Z, ∴由-4π≤2kπ+≤π,得-≤k≤. ∵k∈Z,∴k=-2或k=-1或k=0. 故在区间[-4π,π]上与角α终边相同的角是-,-,. 13.如图,已知一个长为 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第四面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路程及走过的弧所对扇形的总面积.

2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 3 弧度制学案 北师大版必修4.doc

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