标签: 2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4  
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doc 4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一) 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 知识点 2kπ±α,-α,π±α的诱导公式 思考1 设α为任意角,则2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α的终边与α的终边有怎样的对应关系? 答案 它们的对应关系如表: 相关角 终边之间的对称关系 2kπ+α与α 终边相同 π+α与α 关于原点对称 -α与α 关于x轴对称 2π-α与α 关于x轴对称 π-α与α 关于y轴对称 思考2 2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与-α的正弦函数、余弦函数的关系. 答案 它们交点间对称关系如表: 相关角 终边与单位圆的交点间对称关系 2kπ+α与α 重合 π+α与α 关于原点对称 -α与α 关于x轴对称 2π-α与α 关于x轴对称 π-α与α 关于y轴对称 设角α与角-α终边与单位圆的交点分别为P和P′,因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等,纵坐标的绝对值相等且符号相反,即sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. 梳理 对任意角α,有下列关系式成立: sin(2kπ+α)=sin α,  cos(2kπ+α)=cos α (1.8) sin(-α)=-sin α,  cos(-α)=cos α (1.9) sin(2π-α)=-sin α, cos(2π-α)=cos α (1.10) sin(π-α)=sin α,  cos(π-α)=-cos α (1.11) sin(π+α)=-sin α,  cos(π+α)=-cos α (1.12) 公式1.8~1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式. 这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号. 1.sin(α-π)=sin α.( × ) 提示 sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sin α. 2.cos π=-.( √ ) 提示 cos =cos=-cos =-. 3.诱导公式对弧度制适用,对角度制不适用.( × ) 提示 在角度制和弧度制下,公式都成立. 类型一 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°;(2)sin ;(3)sin;(4)cos(-1 920°). 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 解 (1)cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-. (2)sin =sin=sin =sin=sin =. (3)sin=-sin=-sin =-sin=sin =. (4)cos(-1 920°)=cos 1 920°=cos(5×360°+120°) =cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-. 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”:用公式1.9来转化. (2)“大化小”:用公式1.8角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”:用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°; (2)cos. 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 解 (1)方法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°) =sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-. 方法二 sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-. (2)方法一 cos=cos =cos=cos=-cos =-. 方法二 cos=cos=cos=-cos =-. 类型二 给值(式)求值问题 例2 (1)已知sin(π+α)=-0.3,则sin(2π-α)= . (2)已知cos=,则cos= . 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 (1)-0.3 (2)- 解析 (1)∵sin(π+α)=-sin α=-0.3,∴sin α=0.3,∴sin(2π-α)=-sin α=-0.3. (2)cos=cos=-cos=-. 反思与感悟 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选择诱导公式求解,一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整体思想的运用. 跟踪训练2 (2017·大同检测)已知sin β=,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)的值为(  ) A.1 B.-1 C. D.- 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 D 解析 由cos(α+β)=-1,得α+β=2kπ+π(k∈Z), 则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z), sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β)=-sin β=-. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简:. 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 解 原式===1. 引申探究 若本例改为:(n∈Z),请化简. 解 当n=2k时, 原式==1; 当n=2k+1时, 原式==1.综上,原式=1. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简,主要是进行角的转化,最终达到角的统一,能求值的要求出值. 跟踪训练3 化简:. 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 解 原式===1. 1.sin 585°的值为(  ) A.- B. C.- D. 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 A 解析 sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin 45°=-. 2.cos+sin的值为(  ) A.- B. C. D. 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 C 解析 原式=cos -sin =cos -sin =-cos +sin =. 3.如果α+β=180°,那么下列等式中成立的是(  ) A.cos α=cos β B.cos α=-cos β C.sin α=-sin β D.sin α=cos β 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 B 4.sin 750°= . 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案  解析 ∵sin θ=sin(k·360°+θ),k∈Z, ∴sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=. 5.化简:. 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 解 原式= ===1. 1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式1.8 将角转化为0~2π之间的角求值 公式1.12 将0~2π内的角转化为0~π之间的角求值 公式1.9 将负角转化为正角求值 公式1.11 将角转化为0~之间的角求值 2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号,α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角. 一、选择题 1.cos 600°的值为(  ) A. B. C.- D.- 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 D 解析 cos 600°=cos(360°+240°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-. 2.sin(-390°)的值为(  ) A. B.- C. D.- 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 D 解析 sin(-390°)=sin(-360°-30°)=sin(-30°)=-sin 30°=-. 3.下列三角函数中,与sin 数值相同的是(  ) ①sin;②cos;③sin;④cos;⑤sin(n∈Z). A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①③⑤ 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 C 4.sin(π-2)-cos(4π-2)化简的结果为(  ) A.sin 2-cos 2 B.-1 C.2sin 2 D.-2sin 2 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 A 解析 原式=sin 2-cos 2,所以选A. 5.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,其中a,b,α,β∈R,且ab≠0,α≠kπ(k∈Z).若f(2 009)=5,则f(2 015)等于(  ) A.4 B.3 C.-5 D.5 考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 D 解析 ∵f(2 009)=-(asin α+bcos β)+4=5, ∴f(2 015)=-(asin α+bcos β)+4=5. 6.已知sin=,则sin的值为(  ) A. B.- C. D.- 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 C 解析 sin=sin=sin=. 二、填空题 7.= . 考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案  -2 解析 原式== ====-2. 8.已知f(x)=则f +f = . 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 -2 解析 f =sin=sin =, f =f -1=f -2=sin-2=-, ∴f +f =-=-2. 9.已知cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(α-3π)+cos(α-π)= . 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案  解析 ∵cos(π+α)=-cos α=-, ∴cos α=. 又∵π<α<2π,∴<α<2π, ∴sin α=-. ∴sin(α-3π)+cos(α-π)=-sin(3π-α)+cos(π-α)=-sin(π-α)+(-cos α) =-sin α-cos α=-(sin α+cos α)=-=. 10.已知sin(π+α)=,则cos(α-2π)的值是 . 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 ± 解析 由sin(π+α)=,得sin α=-,所以cos α=±, 所以cos(α-2π)=cos α=±. 11.①sincos π= ; ②sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°)= . 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 ① ②1 解析 (1)sincos π=-sincos=sin cos =. (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos 240°sin(-210°) =-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)+cos(180°+60°)sin(180°+30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=1. 三、解答题 12.已知cos=m(|m|≤1),求cos的值. 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 解 cos=cos=-cos=-m. 13.已知角α终边上一点P(-4,3), 求的值. 考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 解 点P到原点O的距离|OP|==5. 根据三角函数的定义得sin α=,cos α=-, ====×=-. 四、探究与拓展 14.在△ABC中,给出下列四个式子: ①sin(A+B)+sin C; ②cos(A+B)+cos C; ③sin(2A+2B)+sin 2C; ④cos(2A+2B)+cos 2C. 其中为常数的是(  ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案 B 解析 ①sin(A+B)+sin C=2sin C; ②cos(A+B)+cos C=-cos C+cos C=0; ③sin(2A+2B)+sin 2C=sin[2(A+B)]+sin 2C=sin[2(π-C)]+sin 2C =sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0; ④cos(2A+2B)+cos 2C=cos[2(A+B)]+cos 2C=cos[2(π-C)]+cos 2C =cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+cos 2C=2cos 2C. 故选B. 15.已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若α=-,求f(α)的值. 考点 诱导公式与函数的综合 题点 诱导公式与函数的综合 解 (1)f(α)==cos α. (2)∵-=-6×2π+, ∴f =cos=cos =cos =.

2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案 北师大版必修4.doc

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