标签: 2018-2019学年高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用学案北师大版必修4  
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doc §9 三角函数的简单应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 知识点 利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中,周期现象广泛存在,潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述? 答案 三角函数模型. 梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤: 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:收集、整理数据,建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化. 第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步:将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示: 类型一 三角函数模型在物理中的应用 例1 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图像,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 解 (1)由图可知A=300,设t1=-,t2=, 则周期T=2(t2-t1)=2=. ∴ω==150π. 又当t=时,I=0,即sin=0, 而|φ|<,∴φ=. 故所求的解析式为I=300sin. (2)依题意知,周期T≤,即≤(ω>0), ∴ω≥300π>942,又ω∈N+, 故所求最小正整数ω=943. 反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径. 跟踪训练1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是S=6sin. (1)画出它的图像; (2)回答以下问题: ①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间? 考点 三角函数在物理中的应用 题点 三角函数在物理中的应用 解 (1)周期T==1(s). 列表: t 0 1 2πt+ π 2π 2π+ 6sin 3 6 0 -6 0 3 描点画图: (2)①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题: (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式; (2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间? 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用 解 (1)由已知可设y=40.5-40cos ωt,t≥0, 由周期为12分钟可知,当t=6时,摩天轮第1次到达最高点,即此函数第1次取得最大值, 所以6ω=π,即ω=, 所以y=40.5-40cos t(t≥0). (2)设转第1圈时,第t0分钟时距离地面60.5米. 由60.5=40.5-40cos t0, 得cos t0=-, 所以t0=或t0=, 解得t0=4或t0=8, 所以t=8(分钟)时,第2次距地面60.5米, 故第4次距离地面60.5米时,用了12+8=20(分钟). 反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行:(1)认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论;(2)建立三角函数模型,将实际问题数学化;(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解;(4)根据实际问题的意义,得出实际问题的解;(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练2 如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在距离地面2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每300 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 解 (1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t= t,故在t s时,此人相对于地面的高度为h=10sin t+12(t≥0). (2)由10sin t+12≥17,得sin t≥, 则25≤t≤125. 故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m. 1.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l= cm. 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 答案  解析 ∵T==1,∴=2π,∴l=. 2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温为 ℃. 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 20.5 解析 由题意可知A==5,a==23,从而y=5cos+23.故10月份的平均气温值为y=5cos+23=20.5. 3.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数解析式为 . 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在航海、气象学中的应用 答案 h=-6sin t,t∈[0,24] 解析 根据题图设h=Asin(ωt+φ), 则A=6,T=12,=12,∴ω=. 点(6,0)为“五点”作图法中的第一点, ∴×6+φ=0,∴φ=-π, ∴h=6sin=-6sin t,t∈[0,24]. 4.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10-2sin,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 解 (1)因为f(t)=10-2sin, 又0≤t<24, 所以≤t+<, -1≤sin≤1. 当t=2时,sin=1; 当t=14时,sin=-1. 于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃. (2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温. 由(1)得f(t)=10-2sin, 故有10-2sin>11, 即sin<-. 又0≤t<24, 因此<t+<, 即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温. 1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验. 一、选择题 1.如图所示为一简谐运动的图像,则下列判断正确的是(  ) A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 答案 D 解析 该质点的振动周期为T=2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A是错误的;该质点的振幅为5 cm,故B是错误的;该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零,故C是错误的.故选D. 2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为(  ) A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+) B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N+) C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N+) D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+) 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 A 解析 令x=3可排除D,令x=7可排除B,由A==2可排除C. 或由题意,可得A==2,b=7,周期T==2×(7-3)=8,∴ω=. ∴f(x)=2sin+7. ∵当x=3时,f(x)=9, ∴2sin+7=9,即sin=1. ∵|φ|<,∴φ=-. ∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+). 3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则人流量是增加的时间段为(  ) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 C 解析 由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z知,函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C. 4.如图为一半径为3 m的水轮,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮自点A开始1 min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有(  ) A.ω=,A=3 B.ω=,A=3 C.ω=,A=5 D.ω=,A=5 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 A 解析 由题意可知最大值为5,所以5=A×1+2⇒A=3. T=15 s,则ω=.故选A. 5.如图所示为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,则该天8 h的温度大约为(  ) A.16 ℃ B.15 ℃ C.14 ℃ D.13 ℃ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在航海、气象学中的应用 答案 D 解析 由题意得A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20, ∵2×(14-6)=16,∴=16,∴ω=, ∴y=10sin+20, 将x=6,y=10代入得10sin+20=10, 即sin=-1, 由于<φ<π,可得φ=, ∴y=10sin+20,x∈[6,14]. 当x=8时,y=10sin+20=20-5≈13, 即该天8 h的温度大约为13 ℃,故选D. 6.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系.设秒针针尖的位置为P(x,y),若初始位置为P0,当秒针针尖从P0(注:此时t=0)开始正常走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(  ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 C 解析 由题意,可得函数的初相是,排除B,D.又函数的最小正周期是60,且秒针按顺时针走动,即T==60,所以|ω|=,即ω=-,故选C. 7.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为(  ) 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 答案 C 解析 取特殊值检验,由题意及图知f(0)=,排除A,D,又f =0,故选C. 二、填空题 8.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是 . 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 80 解析 T==(分),f==80(次/分). 9.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 . 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 8 解析 由y=3sin+k可知,ymin=-3+k,所以-3+k=2,即k=5,所以ymax=3+k=8. 10.如图所示,弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm,每经过π s小球往复振动一次,则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 . 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在物理学方面的应用 答案 y=4sin 解析 不妨设y=Asin(ωx+φ). 由题意知A=

2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 9 三角函数的简单应用学案 北师大版必修4.doc

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