标签: 2018-2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式滚动训练二(4第1课时-第3课时)北师大版选修4-5  
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doc 第一章 不等关系与基本不等式 滚动训练二 一、选择题 1.设Q表示要证明的结论,Pn(n=1,2,3,…)表示一个明显成立的条件,那么下列表示的证明方法是(  ) Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.比较法 答案 B 解析 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的充分条件,只要使结论成立的充分条件已具备,此结论就一定成立.故选B. 2.用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容应是(  ) A.= B.< C.=且< D.=或< 答案 D 解析 与大小包括>,=,<三方面的关系,所以>的反设应为=或<. 3.若a>b>0,下列各式中恒成立的是(  ) A.> B.> C.a+>b+ D.aa>bb 答案 B 解析 利用不等式的性质,得当a>b>0时,<,由此可知,C不恒成立;当0<a<1,a>b时,可知aa<bb,D不能恒成立;选取适当的特殊值,若a=2,b=1,可知=,=2,由此可见A不恒成立.综上可知排除A,C,D,故选B. 4.设a,b,c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是(  ) A.|a-b|≤|a-c|+|b-c| B.a2+≥a+ C.|a-b|+≥2 D.-<- 答案 C 解析 对于C,当a>b时,成立;当a<b时,不成立. 5.要使-<成立,a,b应满足的条件是(  ) A.ab<0且a>b B.ab>0且a>b C.ab<0且a<b D.ab>0且a>b或ab<0且a<b 答案 D 解析 要使-<成立, 只需(-)3<()3, 即a-3+3-b<a-b, 只需<, 只需ab2<a2b, 只需ab(a-b)>0, 只需ab>0且a>b或ab<0且a<b. 6.若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是(  ) A.1B.C.9D.16 答案 B 解析 += =≥(5+2)=, 当且仅当=,即a=,b=时取等号, 故选B. 二、填空题 7.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是________. 答案 a>b>c 解析 a-b=--+=+-(+), 而(+)2=8+2,(+)2=8+2, ∴+>+, ∴a-b>0,即a>b. 同理可知b>c,∴a>b>c. 8.已知a,b,c,d都为正数,且S=+++,则S的取值范围是________. 答案 (1,2) 解析 由放缩法,得<<; <<; <<; <<. 以上四个不等式相加,得1<S<2. 9.如果a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是________. 答案 a≥0,b≥0,a≠b 解析 由及知a≥0,b≥0, 又a+b≠a+b, ∴a≠b,∴a≥0,b≥0,a≠b. 10.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为_____. 答案 4 解析 (x+y)(+)=1+a++≥1+a+2=(+1)2, 当y=x时取等号, 所以(x+y)(+)的最小值为(+1)2, 于是(+1)2≥9恒成立,所以a≥4. 三、解答题 11.已知a,b,c都是正数,求证:≥abc. 解 因为b2+c2≥2bc,a2>0,所以a2(b2+c2)≥2a2bc.① 同理b2(a2+c2)≥2ab2c,② c2(a2+b2)≥2abc2.③ 由①②③, 得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2, 所以a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c). 由a,b,c都是正数,得a+b+c>0, 因此≥abc(当且仅当a=b=c时等号成立). 12.已知a≥-1,求证以下三个方程: x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解. 证明 假设三个方程都没有实数解, 则Δ1=16a2-4×(-4a+3)=16a2+16a-12<0, Δ2=(a-1)2-4×a2=-3a2-2a+1<0, Δ3=4a2-4(-2a)=4a2+8a<0, ∴ 解得-<a<-1, 这与a≥-1矛盾. ∴三个方程中至少有一个方程有实数解. 13.求证:1+++…+<2. 证明 设k>2,则<=, ∴1+++…+<1+++…+==2-<2. ∴1+++…+<2. 四、探究与拓展 14.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N+. (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有+ +…+<. (1)解 令n=1,得S-(-1)S1-3×2=0, 即S+S1-6=0,所以(S1+3)(S1-2)=0, 因为S1>0, 所以S1=2,即a1=2. (2)解 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0, 得(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0, 因为an>0(n∈N+),Sn>0,从而Sn+3>0, 所以Sn=n2+n, 所以当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n, 又a1=2=2×1,所以an=2n(n∈N+). (3)证明 设k≥2,则=<=, 所以+++…+ <+ =+-<. 所以++…+<.

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