标签: 2018-2019学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质导学案新人教B版选修4-5  
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doc 1.1.1 不等式的基本性质 1.了解不等关系与不等式. 2.掌握不等式的性质. 3.会用不等式的性质解决一些简单问题. 自学导引 1.对于任何两个实数a,b, a>b⇔a-b>0; a<b⇔a-b<0; a=b⇔a-b=0. 2.不等式有如下8条性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)加(减):a>b⇒a+c>b+c; (4)乘(除):a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒ac<bc; (5)乘方:a>b>0⇒an>bn,n∈N*且n≥2; (6)开方:a>b>0⇒>,n∈N*且n≥2; (7)a>b,c>d⇒a+c>b+d; (8)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. 基础自测 1.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(  ) A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2 解析 由a2+a<0知a≠0,故有a<-a2<0,0<a2<-a.故选B. 答案 B 2.若a>b>0,c<d<0,则一定有(  ) A.> B.< C.> D.< 解析 思路一:根据给出的字母的取值要求,取特殊值验证. 思路二:根据不等式的性质直接推导. 方法一:令a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则=-1,=-1,排除选项C,D; 又=-,=-,所以<,所以选项A错误,选项B正确.故选B. 方法二:因为c<d<0,所以-c>-d>0, 所以>>0. 又a>b>0,所以>,所以<,故选B. 答案 B 3.设x∈R,则与的大小关系是________. 解析 当x=0时,=0<, 当x≠0时,=, ∴+x2≥2,∴≤(当x=±1时取等号), 综上所述≤. 答案 ≤ 知识点1 不等式的性质及应用 【例1】 判断下列各题的对错 (1)<且c>0⇒a>b(  ) (2)a>b且c>d⇒ac>bd(  ) (3)a>b>0且c>d>0⇒ > (  ) (4)>⇒a>b(  ) 解析 (1)⇒<, 当a<0,b>0时,此式成立, 推不出a>b,∴(1)错. (2)当a=3,b=1,c=-2,d=-3时,命题显然不成立.∴(2)错. (3)⇒>>0⇒ > 成立.∴(3)对. (4)显然c2>0,∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ ●反思感悟:解决这类问题,主要是根据不等式的性质判定,其实质是看是否满足性质所需的条件,若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定. 1.有以下四个条件: ①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0. 其中能使<成立的有________个条件. 解析 ①b>0>a,∴<0<,结论成立; ②0>a>b,∴<,结论成立; ③a>0>b,∴>,结论不成立; ④a>b>0,∴<,结论成立. 答案 3 知识点2 实数大小的比较 【例2】 实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小. 解 x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y; x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1 =+>0⇒y>x,故z≥y>x. ●反思感悟:两个实数比较大小,通常用作差法来进行.其一般步骤是: (1)作差. (2)变形,常采用配方、因式分解、分母有理化等方法. (3)定号,即确定差的符号. (4)下结论. 2.已知-<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=,D=,试比较A,B,C,D的大小. 解 ∵-<a<0,∴1+a2>1-a2,即A>B, >,即C>D, 又∵A-C=1+a2-=<0,∴A<C, ∵B-D=1-a2-=>0, ∴C>A>B>D. 知识点3 不等式的证明 【例3】 如果a>b>0,c<d<0,f<0,证明:>. 证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0, 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. 不等式的两边同乘>0,得:>>0, 又∵f<0,∴<,即>. ●反思感悟:利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中,一要严格符合性质条件;二要注意向特征不等式的形式化归. 3.已知a<b<c,x<y<z,则ax+by+cz,ax+cy+bz,bx+ay+cz,cx+by+az中哪一个最大?请予以证明. 解 最大的一个是ax+by+cz ∵ax+by+cz-(ax+cy+bz)=(b-c)(y-z)>0 ⇒ax+by+cz>ax+cy+bz 同理ax+by+cz>bx+ay+cz ax+by+cz>cx+by+az故结论成立. 课堂小结 1.不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示;而不等式则是用来表示不等关系的,可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示,不等关系是通过不等式来体现的. 2.不等式的性质是不等式变形的依据.每一步变形,都应有根有据.记准适用条件是关键. 3.关于传递性要正确处理带等号的情况:由a>b,b≥c或a≥b,b>c均可推得a>c;而a≥b,b≥c不一定可以推得a>c,可能是a>c,也可能是a=c. 随堂演练 1.已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出<成立的有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 运用倒数性质,由a>b,ab>0可得<,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C. 答案 C 2.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由⇒a>b;而当a=c=2,b=d=1时,满足,但a-c>b-d不成立,所以“a>b”是“a-c>b-d”的必要而不充分条件,选B. 答案 B 3.已知不等式:①x2+3>2x;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1),其中正确的不等式有__________.(填上正确的序号) 答案 ①③ 4.实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c,则将a,b,c,d按照从小到大的次序排列为________. 解析 ∵d>c,a+d<b+c, ∴a<b, ∵a+d<b+c,∴a-c<b-d, ∵a+b=c+d,∴a-c=d-b, 即d<b,a<c, ∴a<c<d<b. 答案 a<c<d<b 基础达标 1.若<<0,则下列不等式中正确的有(  ) ①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ac>bc. A.1个   B.2个   C.3个   D.4个 答案 A 2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(  ) A.< B.a2>b2 C.> D.a|c|>b|c| 解析 本题只提供了“a,b,c∈R,a>b”这个条件,而不等式的基本性质中,几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A,还需有ab>0这个前提条件;选项B,当a,b都为负数或一正一负时都有可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正确;选项C,>0,因而正确;选项D,当c=0时不正确. 答案 C 3.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是(  ) A.b-a>0 B.a3+b3>0 C.a2-b2<0 D.b+a>0 解析 ∵a-|b|>0,∴a>|b|>0. ∴不论b正或b负均有a+b>0. 答案 D 4.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为________,的取值范围为________. 解析 x-y=x+(-y),所以需先求出-y的范围; =x×,所以需先求出的范围. ∵28<y<33, ∴-33<-y<-28,<<. 又60<x<84,∴27<x-y<56,<<, 即<<3. 答案 27<x-y<56 <<3 5.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a、b满足的条件是________________. 答案 ab≠1或a≠-2 6.已知a、b∈{正实数}且a≠b,比较+与a+b的大小. 解 ∵-(a+b)=-b+-a =+=(a2-b2) =, ∴当a>b>0时,a2>b2,∴>0. 当0<a<b时,a2<b2,∴>0. ∴只要a≠b,总有+>a+b. 综合提高 7.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(  ) A.> B.ln(x2+1)>ln(y2+1) C.sin x>sin y D.x3>y3 解析 先依据指数函数的性质确定出x,y的大小,再逐一对选项进行判断.因为0<a<1,ax<ay,所以x>y.采用赋值法判断,A中,当x=1,y=0时,<1,A不成立.B中,当x=0,y=-1时,ln 1<ln 2,B不成立.C中,当x=0,y=-π时,sin x=sin y=0,C不成立.D中,因为函数y=x3在R上是增函数,故选D. 答案 D 8.若a,b,x,y∈R,则是成立的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由可得 即有由 可得或 即有所以应选C. 答案 C 9.设角α,β满足-<α<β<,则α-β的范围是________. 解析 ∵-<α<β<, ∴-<-β<-α<.∴-π<α-β<β-α<π,且α-β<0,∴-π<α-β<0. 答案 -π<α<-β<0 10.有以下四个条件: ①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0. 其中能使<成立的有________个条件. 解析 ①∵b>0,∴>0.∵a<0,∴<0.∴<. ②∵b<a<0,∴>. ③∵a>0>b,∴>0,<0.∴>. ④∵a>b>0,∴<. 综上知,①②④均能使<成立. 答案 3 11.若a>0,b>0,求证:+≥a+b. 证明 ∵+-a-b=(a-b) =, (a-b)2≥0恒成立,且已知a>0,b>0, ∴a+b>0,ab>0. ∴≥0. ∴+≥a+b. 12.已知α、β满足 试求α+3β的取值范围. 解 设α+3β=λ(α+β)+v(α+2β) =(λ+v)α+(λ+2v)β. 比较α、β的系数,得 从而解出λ=-1,v=2. 分别由①、②得-1≤-α-β≤1,2≤2α+4β≤6, 两式相加,得1≤α+3β≤7. 另解 由①,∴-1≤-(α+β)≤1 ③ 由③②可得,0≤β≤4④ 由④②可得,1≤α+2β+β≤4+3, 即:1≤α+3β≤7.

2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1.1 不等式的基本性质导学案 新人教B版选修4-5.docx

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