标签: 2018-2019学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习导学案新人教B版选修4-5  
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doc 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 本章复习课 1.掌握不等式的基本性质,会应用基本性质进行简单的不等式变形. 2.熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法. 3.理解绝对值的几何意义,理解绝对值三角不等式,会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值. 4.会解四种类型的绝对值不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≤m,|x-c|+|x-b|≥m. 5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值. 6.理解不等式证明的五种方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,会用它用证明比较简单的不等式. 知识结构 知识梳理 1.实数的运算性质与大小顺序的关系:a>b⇔a-b>0,a=b⇔a-b=0,a<b⇔a-b<0,由此可知要比较两个实数的大小,判断差的符号即可. 2.不等式的6个基本性质是不等式的基础. 3.一元一次、一元二次不等式的解法是解不等式的基础,各类不等式的求解都转化为一元一次不等式、一元二次不等式,一元二次不等式都可化为两种类型,ax2+bx+c≥0 (a>0)或ax2+bx+c≤0 (a>0),ax2+bx+c≥0 (a>0)的解集实质上是函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)的函数值f(x)≥0对应的自变量x的取值范围,方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根实质上是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值. 4.基本不等式 (1)定理1:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”). (2)定理2:若a,b∈R+,则≥(当且仅当a=b时取“=”). (3)引理:若a,b,c∈R+,则a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取“=”)可以当作重要结论直接应用. (4)定理3:若a,b,c∈R+,则≥(当且仅当a=b=c时取“=”). (5)推论:若a1,a2,…,an∈R+,则≥.当且仅当a1=a2=…=an时,取“=”. (6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足“一正,二定,三相等”的要求. 5.绝对值不等式的解法:解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号,把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式,或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有: (1)根据绝对值的定义;(2)平方法;(3)分区间讨论. 6.绝对值三角不等式: (1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离,|a-b|的几何意义表示数轴上两点间的距离. (2)|a+b|≤|a|+|b| (a,b∈R,ab≥0时等号成立). (3)|a-c|≤|a-b|+|b-c| (a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0等号成立). (4)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| (a,b∈R,左边“=”成立的条件是ab≤0,右边“=”成立的条件是ab≥0). (5)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b| (a,b∈R,左边“=”成立的条件是ab≥0,右边“=”成立的条件是ab≤0). 7.不等式证明的基本方法 (1)比较法:作差法与作商法. (2)综合法:强调将问题进行合理变形转换,使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题. (3)分析法:强调书写步骤的合理性,注意逻辑上的充分性,步步可逆不是指等价,当然等价也行. (4)反证法:反证法是一种“正难则反”的方法,反证法适用的范围:①直接证明困难;②需要分成很多类进行讨论;③“唯一性”、“存在性”的命题;④结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题. (5)放缩法:放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,常用的放缩技巧有:①舍掉(或加进)一些项;②在分式中放大或缩小分子或分母;③应用基本不等式放缩.例如+>,<,>,<(以上k>2且k∈N*). 典例剖析 知识点1 基本不等式的应用 【例1】 求函数y=x2(1-5x) 的最值. 解 y=x2=·x·x·, ∵0≤x≤,∴-2x≥0. ∴y≤=. 当且仅当x=-2x, 即x=时,y取得最大值且ymax=. 知识点2 证明不等式(利用函数的单调性) 【例2】 已知△ABC的三边长是a,b,c,且m为正数, 求证:+>. 证明 设函数f(x)==1- (x>0,m>0). 易知f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵f(a)+f(b)=+ >+==f(a+b). 又a+b>c,∴f(a+b)>f(c)=, ∴+>. 知识点3 应用绝对值三角不等式证明不等式 【例3】 已知f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)的定义域为[-1,1]. (1)记|f(x)|的最大值为M,求证:M≥; (2)当M=时,求f(x)的表达式. (1)证明 由题意M≥|f(0)|,M≥|f(1)|,M≥|f(-1)|. ∴4M≥2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)| =2|b|+|1+a+b|+|1-a+b| ≥|1+a+b+1-a+b-2b|=2,∴M≥. (2)解 当M=时,|f(0)|=|b|≤, ∴-≤b≤. 同理有-≤1+a+b≤,-≤1-a+b≤. 两式相加-1≤2+2b≤1,∴-≤b≤-. 又-≤b≤,∴b=-. 当b=-时,由-≤1+a+b≤⇒-1≤a≤0; 由-≤1-a+b≤⇒0≤a≤1,即a=0. ∴f(x)=x2-. 基础达标 1.若a,b,x,y∈R,则是成立的(  ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由(x-a)(y-b)>0知,x-a与y-b同号, 由x+y>a+b得(x-a)+(y-b)>0, 即(x-a),(y-b)同正, 所以如果易知 答案 C 2.若a3+b3=2,则(  ) A.a+b<2 B.a+b≤2 C.a+b>2 D.a+b≥2 解析 ∵a3+b3=2, ∴(a+b)(a2+b2-ab)=2, (a+b)[(a+b)2-3ab]=2. (a+b)3=3(a+b)ab+2≤3(a+b)+2. ∴(a+b)3≤8,∴a+b≤2. 答案 B 3.设a>0,b>0,下列不等式中不正确的是(  ) A.a2+b2≥2ab B.+≥2 C.+≥a+b D.+≤ 解析 +-=-==>0,故选D. 答案 D 4.A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________. 解析 A=1+++…+≥++…+==,∴A≥. 答案 A≥ 5.若a=,则a+b的最小值是________. 解析 设b=sin θ,-≤θ≤, 则a=cos θ,a+b=sin. ∵-≤θ+≤, ∴-≤sin≤1, 故-1≤a+b≤. 答案 -1 6.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1. 解 ①当x>2时,原不等式等价于 ⇒x>2 ②当-3≤x≤2时,原不等式等价于 ⇒-<x≤2 ③当x<-3时,原不等式等价于 ⇒x<-12. 综上所述知不等式的解集为{x|x>-或x<-12}. 综合提高 7.设函数y=x2-x+a (a>0)满足f(m)<0,则(  ) A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 解析 设x1、x2是方程x2-x+a=0的两根, 则|x1-x2|==<1. ∴当f(m)<0时,f(m+1)>0. 答案 C 8.设0<a<b且f(x)=,则下列结论中正确的是(  ) A.f(a)<f<f(ab) B.f<f(b)<f() C.f()<f<f(a) D.f(b)<f<f() 解析 当x>0时,f(x)=1+ ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. 又b>>. 答案 D 9.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________. 解析 由ab=a+b+3≥2+3,令=x,则有 x2≥2x+3⇔x2-2x-3≥0,解x求的范围. x≥3或x≤-1(舍去),∴ab≥9. 答案 [9,+∞) 10.函数y=1+2x+的值域是____________. 解析 ∵=|2x|+≥2. ∴2x+∈[2,+∞)或(-∞,-2]. ∴y∈(-∞,-2+1]∪[2+1,+∞). 答案 (-∞,-2+1]∪[2+1,+∞) 11.设a>b>c>1,记M=a-,N=a-,P=2,Q=3,试找出其中的最小者,并说明理由. 解 ∵b>c>0,∴>,∴N<M; 又Q-P=c+2-3 =c++-3 ≥3-3=0, 又a>b>c>1,∴c≠, 从而Q>P,又N-P=2--b=(2-1-) =[(-1)+(-)]>0(∵a>b>c>1) ∴P<N,故P最小. 12.设a、b、c、d是正数,求证:下列三个不等式 a+b<c+d,① (a+b)(c+d)<ab+cd,② (a+b)cd<ab(c+d)③ 中至少有一个不正确. 证明 本题显然应该用反证法. 假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以①与②相乘,得: (a+b)2<ab+cd.④ 由③得(a+b)cd<ab(c+d)≤(c+d). ∵a+b>0,∴4cd<(a+b)(c+d). 结合②,得4cd<ab+cd, ∴3cd<ab,即cd<ab. 由④,得(a+b)2<ab,即a2+b2<-ab,矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确.

2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习导学案 新人教B版选修4-5.docx

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