标签: 2018-2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词作业苏教版选修1-1  
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doc 1.3 全称量词与存在量词 [基础达标] 1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是________.(填序号) ①任意一个有理数,它的平方是有理数; ②任意一个无理数,它的平方不是有理数; ③存在一个有理数,它的平方是有理数; ④存在一个无理数,它的平方不是有理数. 解析:“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”. 答案:② 2.命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. 解析:全称命题的否定是存在性命题. 答案:存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 3.已知命题:“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”是真命题,则a的取值范围是________. 解析:由已知得,∃x∈[1,2],使a≥-x2-2x成立;若记f(x)=-x2-2x(1≤x≤2),则a≥f(x)min;而结合二次函数f(x)=-x2-2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)=-22-2×2=-8,所以a≥-8. 答案:a≥-8 4.不等式x2-x>x-a对∀x∈R都成立,则a的取值范围是________. 解析:法一:不等式x2-x>x-a对∀x∈R都成立,即不等式x2-2x+a>0恒成立; 结合二次函数图象得其Δ<0,即4-4a<0,所以a>1. 法二:不等式x2-x>x-a对∀x∈R都成立,也可看作a>-x2+2x对∀x∈R都成立,所以a>(-x2+2x)max;而二次函数f(x)=-x2+2x的最大值为=1,所以a>1. 答案:a>1 5.下列命题中的真命题的个数是________. ①∃x∈R,使得sin x+cos x=; ②∃x∈(-∞,0),2x<3x; ③∀x∈(0,π),sin x>cos x. 解析:∵∀x∈R,sin x+cos x≤;∀x∈(-∞,0),2x>3x;sin=cos,所以①②③都是假命题. 答案:0 6.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是________. ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题; ③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∧綈q”是假命题. 解析:容易知命题p是真命题,如x=,则綈p是假命题;因为当x=0时,x2=0,所以命题q是假命题,则綈q是真命题.所以“p∧q”是假命题,①错误;“p∧綈q”是真命题,②错误;“綈p∨q”是假命题,③错误;“綈p∧綈q”是假命题,④正确. 答案:④ 7.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定: (1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立; (2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0. 解:(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,綈p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立,即“∃x∈R,使x2+x+1≠0成立”; (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,綈p:对任意一个x都有x2+2x+5≤0,即“∀x∈R,x2+2x+5≤0”. 8.已知命题p:对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥ 恒成立;命题q:不等式x2+ax+2<0有解;若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围. 解:∵m∈[-1,1],∴∈[2,3]. 因为对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥ 恒成立,可得a2-5a-3≥3. ∴a≥6或a≤-1. 故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1. 又命题q:不等式x2+ax+2<0有解, ∴Δ=a2-8>0. ∴a>2或a<-2; 从而命题q为假命题时,-2≤a≤2; 所以命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-2≤a≤-1. [能力提升] 1.已知:对∀x>0,a≤x+恒成立,则a的取值范围为________. 解析:∀x>0,x+≥2(当且仅当x=时等号成立),min=2; 而对∀x>0,a≤x+恒成立,所以a≤2. 答案:a≤2 2.已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题綈p是真命题,那么实数a的取值范围是________. 解析:因为命题綈p是真命题,所以命题p是假命题,而当命题p是真命题时,就是不等式ax2+2x+3>0对一切x∈R恒成立,这时就有,解得a>, 因此当命题p是假命题,即命题綈p是真命题时,实数a的取值范围是a≤. 答案:a≤ 3.已知p:|3x-4|>2,q:>0,求綈p和綈q对应的x的值的集合. 解:设命题p中的元素组成的集合为M,那么对命题p的否定綈p组成的集合就是M的补集. 由p:|3x-4|>2,得p:x<或x>2,所以綈p:≤x≤2,即綈p:; 由q:>0,得q:x<-1或x>2, 所以綈q:-1≤x≤2,即綈q:{x|-1≤x≤2}. 4.(创新题)判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假. 解:原命题的逆否命题:已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集. 判断真假如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. 因为a<1,所以4a-7<0. 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.

2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词作业 苏教版选修1 -1.doc

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