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doc 1.6.2 垂直关系的性质 [A.基础达标] 1.设l是直线,α,β是两个不同的平面(  ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 解析:选B.若l∥α,l∥β,则α,β可能相交,故A错;若l∥α,则平面α内必存在一直线m与l平行,又l⊥β,则m⊥β,又mα,故α⊥β,故B对;若α⊥β,l⊥α,则l∥β或lβ,故C错;若α⊥β,l∥α,则l与β关系不确定,故D错. 2.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC,则l与m的位置关系是(  ) A.相交         B.平行 C.异面 D.不确定 解析:选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB,l⊥CD,所以l垂直于梯形ABCD.又因为直线m垂直于AD和BC,且AD∥BC. 所以m与平面ABCD的位置关系不确定,因此l与m的位置关系就不确定,故选D. 3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(  ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 解析:选D.如图所示.AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β,故选D. 4.三棱锥P­ABC的所有棱长都相等,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是(  ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 解析:选C.由BC∥DF得BC∥平面PDF,故A正确;由BC⊥AE,BC⊥PE得BC⊥平面PAE,所以DF⊥平面PAE,平面PAE⊥平面ABC,故B、D都正确.排除A,B,D,故选C. 5.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为(  ) A.30° B.60° C.90° D.不确定 解析:选B.如图,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=. 因为平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD, 所以AD⊥BD,所以AB=,所以∠ACB=60°. 6.如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角的大小是________. 解析:过A作AO⊥BD于O点, 因为平面ABD⊥平面BCD, 所以AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角. 因为∠BAD=90°,AB=AD, 所以∠ADO=45°. 答案:45° 7.如图,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=________. 解析:因为AF⊥平面ABCD,AF∥DE, 所以DE⊥平面ABCD,CD平面ABCD. 所以DE⊥CD. 因为DE=AF=2,CD=3, 所以CE==. 答案: 8.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________. 解析:利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真,所以应填“若①③④,则②”,或“若②③④,则①”. 答案:若①③④,则②(或若②③④,则①) 9.如图,在四棱锥P­ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点. 求证:(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 证明:(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD. 又因为EF 平面PCD,PD平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点,所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD. 又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD. 10.如图,在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD中,当底面四边形ABCD满足什么条件时,有A1C⊥B1D1?(注:写出一个你认为正确的条件即可,不必考虑所有可能的情形.) 解:连接BD,AC,因为BD∥B1D1,所以要使A1C⊥B1D1,需A1C⊥BD. 因为A1A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1A⊥BD,又因为A1A∩A1C=A1,所以BD⊥平面A1AC.因为AC平面A1AC,所以AC⊥BD. 由以上分析知,要使A1C⊥B1D1,需使AC⊥BD,或任何能推导出AC⊥BD的条件,如四边形ABCD是正方形、菱形等. [B.能力提升] 1.下列命题中错误的是(  ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析:选D.两个平面α,β垂直时,设交线为l,则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β,故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β,那么由面面垂直的判定定理知α⊥β,故B正确;两个平面都与第三个平面垂直时,易证交线与第三个平面垂直,故C正确;两个平面α,β垂直时,平面α内与交线平行的直线与β平行,故D错误. 2.下列命题: ①⇒a⊥b;②⇒b⊥α; ③⇒a⊥b;④⇒a⊥α; ⑤⇒b⊥α;⑥⇒b∥α. 其中正确命题的个数是(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选A.因为a⊥α,则a与平面α内的任意直线都垂直,所以①正确;两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也垂直于这个平面,所以②正确;又若b∥α,a⊥α,由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知,a⊥b成立,所以③正确;由线面垂直的判定定理知④错;a∥α,a⊥b时,b与α可以平行、相交(垂直),也可以bα,所以⑤错;当a⊥α,b⊥a时,有b∥α或bα,所以⑥错. 3.平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹为________(填“直线”、“圆”或“其他曲线”). 解析:过点A与AB垂直的所有直线都在同一个平面β内,因为AB是α的斜线,所以β与α不平行.从而β与α的所有公共点都在同一条直线上,即β与α的交线上.从而β内所有过点A与α相交的直线,其交点都在此交线上. 答案:直线 4.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为________cm. 解析:如图,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4,BD=12, 所以AD==4(cm). 又因为α⊥β,CA⊥AB,CAα, 所以CA⊥β,CA⊥AD.所以△CAD为直角三角形. 所以CD====13(cm). 答案:13 5.如图,在四棱锥S­ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.求证: (1)DE⊥平面SBC; (2)SE=2EB. 证明:(1)因为SD⊥平面ABCD, 所以BC⊥SD. 又因为BC⊥BD,BD∩SD=D, 所以BC⊥平面BDS.所以BC⊥DE. 作BK⊥EC,K为垂足, 因为平面EDC⊥平面SBC, 故BK⊥平面EDC,BK⊥DE. 又因为BK平面SBC,BC平面SBC, BK∩BC=B,所以DE⊥平面SBC. (2)由(1)知DE⊥SB,DB=AD=, 所以SB==,DE==,EB==,SE=SB-EB=,所以SE=2EB. 6.(选做题)如图所示,在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点. (1)求证:B1D1∥平面A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 解:(1)证明:由ABCD­A1B1C1D1是直四棱柱,得BB1∥DD1,且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形. 所以B1D1∥BD. 而BD平面A1BD,B1D1 平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD. (2)证明:因为BM⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以BM⊥AC. 又因为BD⊥AC,且BD∩BM=B,所以AC⊥平面BMD. 而MD平面BMD,所以MD⊥AC. (3)当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D. 取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于点O,连接OM,BN, 因为N是DC的中点,BD=BC,所以BN⊥DC. 又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD⊥平面DCC1D1, 所以BN⊥平面DCC1D1. 又O是NN1的中点,所以BM∥ON,且BM=ON, 即BMON是平行四边形, 所以BN∥OM.所以OM⊥平面CC1D1D. 因为OM平面DMC1, 所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.

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