标签: 2018-2019学年高中数学第一章统计案例1.1独立性检验学案苏教版选修1-2  
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doc 1.1 独立性检验 学习目标 1.了解2×2列联表的意义.2.了解统计量χ2的意义.3.通过对典型案例分析,了解独立性检验的基本思想和方法. 知识点一 2×2列联表 思考 山东省教育厅大力推行素质教育,增加了高中生的课外活动时间,某校调查了学生的课外活动方式,结果整理成下表: 体育 文娱 合计 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”? 答案 可通过表格与图形进行直观分析,也可通过统计分析定量判断. 梳理 (1)2×2列联表的定义 对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值,即类A和类B;Ⅱ也有两类取值,即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据: Ⅱ 类1 类2 合计 Ⅰ 类A a b a+b 类B c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d (2)χ2统计量的求法 公式χ2=. 知识点二 独立性检验 独立性检验的概念 用χ2统计量研究两变量是否有关的方法称为独立性检验. 知识点三 独立性检验的步骤 1.独立性检验的步骤 要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”,可按下面的步骤进行: (1)提出假设H0:Ⅰ与Ⅱ没有关系; (2)根据2×2列联表及χ2公式,计算χ2的值; (3)查对临界值,作出判断. 其中临界值如表所示: P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 表示在H0成立的情况下,事件“χ2≥x0”发生的概率. 2.推断依据 (1)若χ2>10.828,则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”; (2)若χ2>6.635,则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”; (3)若χ2>2.706,则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”; (4)若χ2≤2.706,则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”,但也不能作出结论“H0成立”,即不能认为Ⅰ与Ⅱ没有关系. 1.列联表中的数据是两个分类变量的频数.( √ ) 2.事件A与B的独立性检验无关,即两个事件互不影响.( × ) 3.χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量.( √ ) 类型一 2×2列联表 例1 在一项有关医疗保健的社会调查中,发现调查的男性为530人,女性为670人,其中男性中喜欢吃甜食的为117人,女性中喜欢吃甜食的为492人,请作出性别与喜欢吃甜食的人数列联表. 考点  题点  解 作列联表如下: 喜欢甜食 不喜欢甜食 合计 男 117 413 530 女 492 178 670 合计 609 591 1 200 反思与感悟 分清类别是作列联表的关键步骤.表中排成两行两列的数据是调查统计得来的结果. 跟踪训练1 (1)下面是2×2列联表: y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 100 则表中a,b的值分别为____________________. 答案 52 54 解析 ∵a+21=73,∴a=52. 又∵a+2=b,∴b=54. (2)某学校对高三学生作一项调查后发现:在平时的模拟考试中,性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张,性格外向的594名学生中有213名在考前心情紧张.作出2×2列联表. 考点  题点  解 作列联表如下: 性格内向 性格外向 合计 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张 94 381 475 合计 426 594 1020 类型二 由χ2进行独立性检验 例2 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行三年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示. 又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 假设病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术没有关系,由表中数据得a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d=196,a+c=68,b+d=324,n=392, 由公式得χ2=≈1.779. 因为χ2≈1.779<2.706,所以不能得出病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术有关系的结论,即这两种手术对病人又发作过心脏病的影响没有差别. 反思与感悟 独立性检验的关注点:在2×2列联表中,如果两个分类变量没有关系,则应满足ad-bc≈0,因此|ad-bc|越小,关系越弱;|ad-bc|越大,关系越强. 跟踪训练2 某省进行高中新课程改革已经四年了,为了解教师对新课程教学模式的使用情况,某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查,共调查了50人,其中有老教师20人,青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人,不赞同的有10人;青年教师对新课程教学模式赞同的有24人,不赞同的有6人. (1)根据以上数据建立一个2×2列联表; (2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下所示: 赞同 不赞同 合计 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 (2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”, 由公式得χ2=≈4.963<6.635, 所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关. 1.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了1671人,经过计算χ2=27.63,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的.(填有关或无关) 考点  题点  答案 有关 2.为了考察长头发与女性头晕是否有关系,随机抽查了301名女性,得到如下所示的列联表,试根据表格中已有数据填空. 经常头晕 很少头晕 合计 长发 35 ① 121 短发 37 143 ② 合计 72 ③ ④ 则空格中的数据分别为:①________;②________;③________;④________. 考点  题点  答案 86 180 229 301 3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是________.(填序号) ①若χ2>6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病; ②从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病; ③若从χ2与临界值的比较中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误. 考点  题点  答案 ③ 解析 对于①,99%的把握是通过大量的试验得出的结论,这100个吸烟的人中可能全患肺病也可能都不患,是随机的,所以①错;对于②,某人吸烟只能说其患病的可能性较大,并不一定患病;③的解释是正确的. 4.某科研机构为了研究中年人秃发与患心脏病是否有关,随机调查了一些中年人的情况,具体数据如表: 患心脏病 无心脏病 合计 秃发 20 300 320 不秃发 5 450 455 合计 25 750 775 根据表中数据得到χ2=≈15.968,因为χ2>6.635,则断定秃发与患心脏病有关系,那么这种判断出错的可能性为________. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 0.01 解析 因为χ2>6.635,所以有99%的把握说秃发与患心脏病有关,故这种判断出错的可能性有1-0.99=0.01. 5.根据下表计算: 不看电视 看电视 合计 男 37 85 122 女 35 143 178 合计 72 228 300 χ2≈________.(保留3位小数) 考点  题点  答案 4.514 解析 χ2=≈4.514. 1.2×2列联表 2×2列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系. 2.对独立性检验思想的理解 独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法.先假设“两个分类变量没有关系”成立,计算χ2统计量的值,如果χ2的值很大,说明假设不合理.χ2越大,两个分类变量有关系的可能性越大. 一、填空题 1.在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到如下表数据: 吃零食 不吃零食 合计 男学生 27 34 61 女学生 12 29 41 合计 39 63 102 根据上述数据分析,我们得出的χ2约为________.(保留3位小数) 考点  题点  答案 2.334 解析 由公式可计算得χ2=≈2.334. 2.有两个分类变量X,Y,其2×2列联表如下表所示, Y1 Y2 X1 a 20-a X2 15-a 30+a 其中a,15-a均为大于5的整数,若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X,Y有关,则a的值为________. 考点  题点  答案 8或9 解析 根据公式,得χ2= =>3.841,根据a>5且15-a>5, a∈Z,求得当a=8或9时满足题意. 3.利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时,通过查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度.如果χ2≥5.024,那么有把握认为“X与Y有关系”的百分比约为________. P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 97.5% 解析 x0=5.024,对应的0.025是“X和Y有关系”不合理的程度,因此两个分类变量有关系的可信程度约为97.5%. 4.在一个2×2列联表中,由其数据计算得χ2=6.888,则其两个变量间有关系的可能性为________. 考点  题点  答案 99% 解析 由于χ2=6.888>6.635, 所以其两个变量间有关系的可能性为99%. 5.在独立性检验中,两个分类变量“X与Y有关系”的可信度为99%,则χ2统计量的取值范围是________. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 [6.635,7.879) 6.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 由χ2=,算得χ2=≈7.8. 附表: P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是________.(填序号) ①有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”; ②有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”; ③在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”; ④在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 ① 解析 由7.8>6.635知,有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 7.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查,数据如下表: 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”这种事件犯错误的概率不超过________. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 0.025 解析 由公式得χ2=≈5.059>5.024. ∵P(χ2≥5.024)=0.025, ∴犯错误的概率不超过0.025. 8.假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其中2×2列联表为: y1 y2 合计 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 对同一样本,以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组是________.(填序号) ①a=5,b=4,c=3,d=2; ②a=5,b=3,c=4,d=2; ③a=2,b=3,c=4,d=5; ④a=3,b=2,c=4,d=5. 答案 ④ 解析 对于同一样本,|ad-bc|越小,说明x与y相关性越弱,而|ad-bc|越大,说明x与y相关性越强,通过计算知,对于①②③都有|ad-bc|=|10-12|=2.对于④,有|ad-bc|=|15-8|=7,显然7>2. 9.为研究某新药的疗效,给100名患者服用此药,跟踪调查后得下表中的数据: 无效 有效 合计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 设H0:服用此药的效果与患者的性别无关,则χ2≈________

2018-2019学年高中数学 第一章 统计案例 1.1 独立性检验学案 苏教版选修1 -2.docx

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