标签: 2018-2019学年高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程1圆的极坐标方程讲义(含解析)新人教A版选修4-4  
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doc 1.圆的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 (1)在极坐标系中,如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程. (2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是: ①建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点. ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式. ③将列出的关系式整理、化简. ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)圆心在C(a,0)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acos_θ. (2)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r. (3)圆心在点处且过极点的圆的方程为ρ=2asin θ(0≤θ≤π). 圆的极坐标方程 [例1] 求圆心在(ρ0,θ0),半径为r的圆的方程. [思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程. [解] 在圆周上任取一点P(如图), 设其极坐标为(ρ,θ). 由余弦定理知:|CP|2=|OP|2+|OC|2-2|OP|·|OC|cos∠COP, 故其极坐标方程为r2=ρ+ρ2-2ρρ0cos(θ-θ0). 几种特殊情形下的圆的极坐标方程 当圆心在极轴上即θ0=0时,方程为r2=ρ+ρ2-2ρρ0cos θ,若再有ρ0=r,则其方程为ρ=2ρ0cos θ=2rcos θ,若ρ0=r,θ0≠0,则方程为ρ=2rcos(θ-θ0),这几个方程经常用来判断图形的形状和位置. 1.求圆心为C,半径为1的圆的极坐标方程. 解:设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ,θ),如图,在△OCM中,由余弦定理,得 |OM|2+|OC|2-2|OM|·|OC|·cos∠=|CM|2, 即ρ2-2ρcos+1=0. 当O,C,M三点共线时,点M的极坐标也适合上式, 所以圆的极坐标方程为ρ2-2ρcos+1=0. 2.求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程. 解:设M(ρ,θ)为圆上除O,B外的任意一点,连接OM,MB,则有|OB|=4,|OM|=ρ, ∠MOB=θ-,∠BMO=90°,从而△BOM为直角三角形. ∴有|OM|=|OB|cos∠MOB 即ρ=4cos=-4sin θ. 极坐标方程与直角坐标方程的互化 [例2] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并判断图形的形状. (1)ρ=2acos θ(a>0);(2)ρ=9(sin θ+cos θ);(3)ρ=4;(4)2ρcos θ-3ρsin θ=5. [解] (1)两边同时乘以ρ,得ρ2=2aρcos θ,即x2+y2=2ax,整理得(x-a)2+y2=a2, 它是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆. (2)两边同时乘以ρ,得ρ2=9ρ(sin θ+cos θ),即x2+y2=9x+9y,整理得2+2=. 它是以为圆心,以为半径的圆. (3)将ρ=4两边平方,得ρ2=16,即x2+y2=16. 它是以原点为圆心,以4为半径的圆. (4)2ρcos θ-3ρsin θ=5,即2x-3y=5,是一条直线. 两种坐标方程间进行互化时的注意点 (1)互化公式是有三个前提条件的,即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合,两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是惟一的,但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要注意化简. (4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形. 3.曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________. 解析:将x2+y2=ρ2,x=ρcos θ代入x2+y2-2x=0, 得ρ2-2ρcos θ=0,整理得ρ=2cos θ. 答案:ρ=2cos θ 4.把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y=x;(2)x2-y2=1. 解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入y=x 得ρsin θ=ρcos θ,从而θ=. (2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2-y2=1, 得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1,化简,得ρ2=. 5.把下列极坐标方程化为直角坐标方程. (1)ρ=6cos θ; (2)ρ=2cos. 解:(1)因为ρ=6cos θ,所以ρ2=6ρcos θ, 所以化为直角坐标方程为x2+y2-6x=0. (2)因为ρ=2cos θcos+2sin θsin =cos θ+sin θ, 所以ρ2=ρcos θ+ρsin θ. 所以化为直角坐标方程为x2+y2-x-y=0. 一、选择题 1.极坐标方程ρ=sin θ+cos θ表示的曲线是(  ) A.直线        B.圆 C.椭圆 D.抛物线 解析:选B 极坐标方程ρ=sin θ+cos θ即ρ2=ρ·(sin θ+cos θ),化为直角坐标方程为x2+y2=x+y,配方得2+2=,表示的曲线是以为圆心,为半径的圆.故选B. 2.如图,极坐标方程ρ=2sin的图形是(  ) 解析:选C 圆ρ=2sin是由圆ρ=2sin θ绕极点按顺时针方程旋转而得,圆心的极坐标为,故选C. 3.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是(  ) A. B. C.(1,0) D.(1,π) 解析:选B 由ρ=-2sin θ得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.故选B. 4.在极坐标系中,点到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为(  ) A.2 B. C. D. 解析:选D 极坐标系中的点化为平面直角坐标系中的点为(1,),极坐标系中的圆 ρ=2cos θ化为平面直角坐标系中的圆为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其圆心为(1,0).所求两点间的距离为=.故选D. 二、填空题 5.把圆的普通方程x2+(y-2)2=4化为极坐标方程为________. 解析:圆的方程x2+(y-2)2=4化为一般方程为x2+y2-4y=0,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得 ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-4ρsin θ=0,即ρ=4sin θ. 答案:ρ=4sin θ 6.曲线C的极坐标方程为ρ=3sin θ,则曲线C的直角坐标方程为________. 解析:由ρ=3sin θ,得ρ2=3ρsin θ, 故x2+y2=3y,即所求方程为x2+y2-3y=0. 答案:x2+y2-3y=0 7.在极坐标系中,若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cos θ于A,B两点,则|AB|=________. 解析:由题意知,直线方程为x=3, 曲线方程为(x-2)2+y2=4, 将x=3代入圆的方程, 得y=±,则|AB|=2. 答案:2 三、解答题 8.把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化. (1)x2+y2+2x=0; (2)ρ=cos θ-2sin θ; (3)ρ2=cos2θ. 解:(1)∵x2+y2+2x=0, ∴ρ2+2ρcos θ=0,∴ρ=-2cos θ. (2)∵ρ=cos θ-2sin θ,∴ρ2=ρcos θ-2ρsin θ, ∴x2+y2=x-2y,即x2+y2-x+2y=0. (3)∵ρ2=cos2θ,∴ρ4=ρ2cos2θ=(ρcos θ)2 ∴(x2+y2)2=x2,即x2+y2=x或x2+y2=-x. 9.过极点O作圆C:ρ=8cos θ的弦ON,求弦ON的中点M的轨迹方程. 解:法一(代入法):设点M(ρ,θ),N(ρ1,θ1). 因为点N在圆ρ=8cos θ上,所以ρ1=8cos θ1. 因为点M是ON的中点,所以ρ1=2ρ,θ1=θ,所以2ρ=8cos θ,所以ρ=4cos θ. 所以点M的轨迹方程是ρ=4cos θ. 法二(定义法):如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4,连接CM. 因为M为弦ON的中点,所以CM⊥ON. 故M在以OC为直径的圆上,所以动点M的轨迹方程是ρ=4cos θ. 10.若圆C的方程是ρ=2asin θ,求: (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程; (2)关于直线θ=对称的圆的极坐标方程. 解:法一:设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ,θ). (1)点M(ρ,θ)关于极轴对称的点为(ρ,-θ), 代入圆C的方程ρ=2asin θ,得ρ=2asin(-θ), 即ρ=-2asin θ为所求. (2)点M(ρ,θ)关于直线θ=对称的点为,代入圆C的方程ρ=2asin θ,得ρ=2asin, 即ρ=-2acos θ为所求. 法二:由圆的极坐标方程ρ=2asin θ得ρ2=2ρasin θ, 利用公式x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ=, 化为直角坐标方程为x2+y2=2ay, 即x2+(y-a)2=a2,故圆心为C(0,a),半径为|a|. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0,-a), 圆的方程为x2+(y+a)2=a2, 即x2+y2=-2ay,所以ρ2=-2ρasin θ, 故ρ=-2asin θ为所求. (2)由θ=得tan θ=-1, 故直线θ=的直角坐标方程为y=-x. 圆x2+(y-a)2=a2关于直线y=-x对称的圆的方程为(-y)2+(-x-a)2=a2,即(x+a)2+y2=a2,于是x2+y2=-2ax,所以ρ2=-2ρacos θ. 故此圆的极坐标方程为ρ=-2acos θ.

2018-2019学年高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 1 圆的极坐标方程讲义(含解析)新人教A版选修4-4.doc

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