标签: 2018-2019学年高中数学第一讲坐标系二第一课时极坐标系的概念学案新人教A版选修4-4  
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doc 第1课时 极坐标系的概念 学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性. 知识点 极坐标系 思考1 某同学说他家在学校东偏北60°,且距学校1公里处,那么他说的位置能惟一确定吗?这个位置是由哪些量确定的? 答案 能惟一确定;位置是由角和距离两个量确定的. 思考2 类比平面直角坐标系,怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系? 答案 选一个点O为基点,射线OA为参照方向. 梳理 极坐标系的概念 (1)极坐标系的定义 ①取极点:平面内取一个定点O; ②作极轴:自极点O引一条射线Ox; ③定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向). (2)点的极坐标 ①定义:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ); ②意义:ρ=|OM|,即极点O与点M的距离(ρ≥0). θ=∠xOM,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角. 类型一 由极坐标画出点 例1 根据下列极坐标作出各点. (1)A,B,C; (2)D,E,F,G. 解 如图, 反思与感悟 由极坐标作点,先由极角线找点所在角的终边,再由极径确定点的位置.通过作点可以看出“极角确定,极径变,点在一条线”,“极径不变,极角变,点在圆上转”. 跟踪训练1 根据下列极坐标,作出各点. A(5,0),B,C,D. 解 在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是确定的. 类型二 求点的极坐标 例2 设点A,直线l为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A关于极轴,直线l,极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,-π<θ≤π). 解 如图所示, 关于极轴的对称点为B. 关于直线l的对称点为C. 关于极点O的对称点为D. 引申探究 1.若将极角θ限定为0≤θ<2π,求例2中的点的极坐标. 解 B,C,D. 2.若将极角θ改为θ∈R,求例2中的点的极坐标. 解 B,C,D(k∈Z). 反思与感悟 (1)设点M的极坐标是(ρ,θ),则M点关于极点的对称点的极坐标是(-ρ,θ)或(ρ,θ+π);M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ,-θ);M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ,π-θ)或(-ρ,-θ). (2)点的极坐标不是惟一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点的极坐标是惟一确定的. (3)写点的极坐标要注意顺序,极径ρ在前,极角θ在后,不能颠倒顺序. 跟踪训练2 在极坐标系中,点A的极坐标是,求点A关于直线θ=的对称点的极坐标(规定ρ>0,θ∈[0,2π)). 解 作出图形,可知A关于直线θ=的对称点是. 类型三 极坐标系中两点间的距离 例3 在极坐标系中,点O为极点,已知点A,B,求|AB|的值. 解 如图∠AOB=-=, ∴△AOB为直角三角形, ∴|AB|==6. 引申探究 在本例条件不变的情况下,求AB的中点的极坐标. 解 取AB的中点M,连接OM, 在△AOB中,∠AOB=,OA=OB, ∴∠AOM=,∴∠xOM=+=. 又|OM|=6×cos=3, ∴M的极坐标为. 反思与感悟 在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么两点间的距离公式|P1P2|=的两种特殊情形为 ①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|; ②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|. 跟踪训练3 (1)在极坐标系中,已知两点P,Q,则线段PQ的长度为________. 答案 5 解析 作出图形,如图所示,可知OP与OQ垂直,所以线段PQ的长度|PQ|==5. (2)在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为A,B,C,判断三角形的形状. 解 因为|AB|2=52+82-2×5×8×cos=49, |AC|2=52+32-2×5×3×cos=49, |BC|2=82+32-2×8×3×cos=49. 所以△ABC是等边三角形. 1.极坐标系中,下列与点(1,π)相同的点为(  ) A.(1,0) B.(2,π) C.(1,2016π) D.(1,2017π) 答案 D 2.点M的直角坐标是(-1,),则点M的极坐标为(  ) A. B. C. D.(k∈Z) 答案 C 3.在极坐标系中,与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 根据极坐标的对称关系知,点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是. 4.在极坐标系中,已知A,B两点,则|AB|=________. 答案  解析 |AB|==. 1.极坐标系的四要素 ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可. 2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置. 3.确定点的极坐标的方法 点P的极坐标的一般形式为(ρ,θ+2kπ),k∈Z,则 (1)ρ为点P到极点的距离,是个定值. (2)极角为满足θ+2kπ,k∈Z的任意角,不惟一,其中θ是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对值较小的角. 一、选择题 1.在极坐标系中,下列与点M重合的点的极坐标是(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 与点M重合的点的极坐标可表示为(k∈Z),故选D. 2.极坐标系中,极坐标对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 因为极坐标对应的点的极径大于0,极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限,所以点在第三象限. 3.在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是(  ) A.1B.C.7D.5 答案 D 解析 设极点为O,因为点A(4,1),B, 所以OA⊥OB,所以AB==5. 4.已知极坐标系中,点A,B,若O为极点,则△OAB为(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰锐角三角形 D.等腰直角三角形 答案 D 解析 由题意,得∠AOB=, |AB|==, 所以|OB|2+|AB|2=|OA|2且|AB|=|OB|=, 故△OAB为等腰直角三角形. 5.在极坐标中,已知点P,Q,则线段PQ的中点M的一个极坐标为(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 如图所示,|OP|=|OQ|=2,∠POQ=-=, 则|PQ|=2, |OM|=|PQ|=, ∠xOM=+=, 所以点M的一个极坐标为. 6.已知极坐标系中,极点为O,若等边三角形ABC(顶点A,B,C按顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别是,,则顶点C的极坐标为(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 如图所示, 由于点A,B,故极点O为AB中点, 故等边△ABC的边长|AB|=4, 则CO⊥AB,|CO|=2, 则点C的极坐标为,即. 二、填空题 7.在极坐标系中,若两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为________. 答案 3 解析 由题意知,∠AOB=,AO=3,OB=4, 所以△AOB(其中O为极点)的面积为 ×3×4×sin=3. 8.已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________. 答案 或 解析 在射线OM上符合条件的点为, 在射线OM反向延长线上符合条件的点为. 9.在极坐标系中,过点P作极轴的垂线,垂足为M,则点M的一个极坐标为__________. 答案 (1,0) 解析 如图所示,在极坐标系中,点P的极坐标为, 则|OP|=2,∠xOP=.由题意,过点P作极轴的垂线,垂足为M,则|OM|=|OP|cos=1,故点M的一个极坐标为(1,0). 10.已知在极坐标系中,△AOB为等边三角形,A,若ρ≥0,θ∈[0,2π),则点B的极坐标为________________________________________________________________________. 答案 或 解析 设B(ρ,θ),由∠AOB=, 得θ-=±+2kπ,k∈Z, 即θ=±+2kπ,k∈Z. 由|OA|=2,得ρ=2, 又因为θ∈[0,2π),所以θ=或. 所以点B的极坐标为或. 三、解答题 11.在极坐标系中,分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标. (1)ρ≥0,θ∈[0,2π); (2)ρ≥0,θ∈R. 解 (1)当ρ≥0,θ∈[0,2π)时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为. (2)当ρ≥0,θ∈R时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为,k∈Z. 12.在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A,B,C. (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积. 解 (1)如图所示,由A,B,C, 得|OA|=|OB|=|OC|=2, ∠AOB=∠BOC=∠AOC=. ∴△AOB≌△BOC≌△AOC, ∴AB=BC=CA,故△ABC为等边三角形. (2)由上述可知,AC=2OAsin=2×2×=2. ∴S△ABC=×(2)2=3. 13.某大学校园的部分平面示意图如图: 用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车库,花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600m,建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0)). 解 以点O为极点,OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m),建立极坐标系. 由|OC|=600m,∠AOC=,∠OAC=, 得|AC|=300m,|OA|=300m, 又|AB|=|BC|,所以|AB|=150m. 同理,得|OE|=2|OG|=300m, 所以各点的极坐标分别为O(0,0),A(300,0), C,D,E,F(300,π),G. 四、探究与拓展 14.已知两点的极坐标A,B,则|AB|=____,AB与极轴正方向所夹的角为________. 答案 3  解析 ∵|AO|=|BO|=3, ∠AOB=,∴|AB|=3. ∠ADx=π-∠ADO=. 15.已知定点P. (1)将极点移至O′处,极轴方向不变,求P点的新坐标; (2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求P点的新坐标. 解 (1)设P点新坐标为(ρ,θ),如图所示, 由题意可知|OO′|=2, |OP|=4,∠POx=, ∠O′Ox=,∴∠POO′=. 在△POO′中,ρ2=42+(2)2-2×4×2·cos =16+12-24=4,∴ρ=2. 又∵=, ∴sin∠OPO′=·2=,∴∠OPO′=. ∴∠OP′P=π--=, ∴∠PP′x=.∴∠PO′x′=. ∴P点的新坐标为. (2)如图,设P点新坐标为(ρ,θ), 则ρ=4,θ=+=. ∴P点的新坐标为.

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