标签: 2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义(二)学案湘教版必修2  
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doc 3.2.1 任意角三角函数的定义(二) [学习目标] 1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. [知识链接] 什么叫做单位圆? 答 以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一定就是1厘米或1米). [预习导引] 1.三角函数的定义域 正弦函数y=sinx的定义域是R;余弦函数y=cosx的定义域是R;正切函数y=tanx的定义域是{x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z}. 2.三角函数线 如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于P点.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作:sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT. 要点一 利用三角函数线比较大小 例1 分别作出和的正弦线、余弦线和正切线,并比较sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小. 解 如图,sin=MP,cos=OM,tan=AT,sin=M′P′,cos=OM′,tan=AT′. 显然|MP|>|M′P′|,符号皆正, ∴sin>sin; |OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos>cos; |AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan<tan. 规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负. 跟踪演练1 sinπ,cosπ,tanπ从小到大的顺序是________. 答案 cosπ<sinπ<tanπ 解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线,由图可知: cosπ<0,tanπ>0,sinπ>0. ∵|MP|<|AT|, ∴sinπ<tanπ. 故cosπ<sinπ<tanπ. 要点二 利用三角函数线解不等式 例2 利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ的取值范围. (1)sinθ≥;(2)-≤cosθ<. 解 (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即. (2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即 . 规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点: (1)先找到“正值”区间,即0~2π间满足条件的角θ的范围,然后再加上2kπ(k∈Z); (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪演练2 已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,若α∈[0,2π),求α的取值范围. 解 ∵点P在第一象限内, ∴∴ 结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知<α<或π<α<. 要点三 利用三角函数线求函数的定义域 例3 求函数f(x)=+ln的定义域. 解 由题意,自变量x应满足不等式组  即 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示, ∴. 规律方法 求三角函数定义域时,一般应转化为求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时,先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围,再取公共部分. 跟踪演练3 求函数f(x)=lg(3-4sin2x)的定义域. 解 ∵3-4sin2x>0, ∴sin2x<, ∴-<sinx<. 如图所示. ∴x∈∪ (k∈Z), 即x∈ (k∈Z). 1.角α(0<α<2π)的正弦线、余弦线的长度相等,且正弦、余弦符号相异,那么α的值为(  ) A.B. C. D.或 答案 D 2.如图对单位圆中角α的三角函数线描述正确的是(  ) A.正弦线PM,正切线A′T′ B.正弦线MP,正切线A′T′ C.正弦线MP,正切线AT D.正弦线PM,正切线AT 答案 C 3.在[0,2π]上,满足sinx≥的x的取值范围为(  ) A. B. C. D. 答案 B 4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接): (1)sinπ________sinπ; (2)cosπ________cosπ; (3)tanπ________tanπ. 答案 (1)> (2)> (3)< 1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.具体地说,正弦线、正切线的方向同纵坐标轴平行,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横坐标轴平行,向右为正,向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了,使得问题更形象直观,为从几何途径解决问题提供了方便. 2.三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点,再画出MP、OM、AT. 注意三角函数线是有向线段,要分清始点和终点,字母的书写顺序不能颠倒. 3.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来,可以从数与形两方面认识三角函数的定义,并使三角函数的定义域、函数值符号的变化规律容易理解. 一、基础达标 1.有三个命题:①和的正弦线长度相等;②和的正切线相同;③和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为(  ) A.1B.2 C.3 D.0 答案 C 解析 和的正弦线关于y轴对称,长度相等;和两角的正切线相同;和的余弦线长度相等.故①②③都正确,故选C. 2.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是(  ) A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 答案 C 解析 ∵1,1.2,1.5均在内,正弦线在内随α的增大而逐渐增大,∴sin1.5>sin1.2>sin1. 3.函数y=tan的定义域为(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵x-≠kπ+,k∈Z, ∴x≠kπ+,k∈Z. 4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有(  ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 答案 C 解析 作α=-1的正弦线,余弦线,正切线可知:b=OM>0,a=MP<0, c=AT<0,且MP>AT. ∴c<a<b. 5.若0<α<2π,且sinα<,cosα>,则角α的取值范围是(  ) A. B. C. D.∪ 答案 D 解析 α取值范围为图中阴影部分,即∪. 6.集合A=[0,2π],B={α|sinα<cosα},则A∩B=______________. 答案 ∪ 7.利用三角函数线,写出满足下列条件的角x的集合: (1)sinx>-且cosx>;(2)tanx≥-1. 解  (1)由图(1)知:当sinx>-且cosx>时,角x满足的集合:. (2)由图(2)知:当tanx≥-1时,角x满足的集合为: ∪. 即. 二、能力提升 8.如果<α<,那么下列不等式成立的是(  ) A.cosα<sinα<tanαB.tanα<sinα<cosα C.sinα<cosα<tanαD.cosα<tanα<sinα 答案 A 解析 如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很容易地观察出OM<MP<AT,即cosα<sinα<tanα. 9.不等式tanα+>0的解集是______________. 答案  解析 不等式的解集如图所示(阴影部分), ∴. 10.把sin,sinπ,cosπ,tanπ由小到大排列为________________. 答案 cosπ<sin<sinπ<tanπ 解析 如图可知,sin=M1P1>0, sinπ=M2P2>0,tanπ=AT>0, cosπ=OM3<0. 而0<M1P1<M2P2<AT, ∴0<sin<sinπ<tanπ. 而cosπ<0,∴cosπ<sin<sinπ<tanπ. 11.求函数y=logsinx(2cosx+1)的定义域. 解 由题意得,要使函数有意义, 则须 如图所示,阴影部分(不含边界与y轴)即为所求. 所以所求函数的定义域为 . 12.利用三角函数线,写出满足下列条件的角α的集合: (1)sinα≥;(2)cosα≤. 解 (1)由图①知:当sinα≥时,角α满足的集合为. (2)由图②知:当cosα≤时,角α满足的集合为 . 三、探究与创新 13.当α∈时,求证:sinα<α<tanα. 证明 如图所示,在直角坐标系中作出单位圆,α的终边与单位圆交于P,α的正弦线、正切线为有向线段MP,AT,则MP=sinα,AT=tanα. 因为S△AOP=OA·MP=sinα, S扇形AOP=αOA2=α, S△AOT=OA·AT=tanα, 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT, 所以sinα<α<tanα, 即sinα<α<tanα.

2018-2019学年高中数学 第三章 三角函数 3.2 任意角的三角函数 3.2.1 任意角三角函数的定义(二)学案 湘教版必修2.doc

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