标签: 2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.3三角函数的图像与性质3.3.2正切函数的图象与性质学案湘教版必修2  
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doc 3.3.2 正切函数的图象与性质 [学习目标] 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. [知识链接] 1.正切函数的定义域是什么?用区间如何表示? 答 , x∈ (k∈Z) 2.如何作正切函数的图象? 答 类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图,正切曲线的简图可用“三点两线法”,这里的三点分别为(kπ,0),,,其中k∈Z,两线分别为直线x=kπ+(k∈Z),x=kπ-(k∈Z). 3.根据相关诱导公式,你能判断正切函数具有奇偶性吗? 答 从正切函数的图象来看,正切曲线关于原点对称;从诱导公式来看,tan(-x)=-tanx.故正切函数是奇函数. [预习导引] 函数y=tanx的性质与图象见右表: y=tanx 图象 定义域 {x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z} 值域 R 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间 (k∈Z)内递增 要点一 求正切函数的定义域 例1 求函数y=的定义域. 解 根据题意,得 解得 所以函数的定义域为 ∪(k∈Z). 规律方法 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线. 跟踪演练1 求函数y=+lg(1-tanx)的定义域. 解 由题意得即-1≤tanx<1. 在内,满足上述不等式的x的取值范围是.由诱导公式得 函数定义域是(k∈Z). 要点二 正切函数的单调性及应用 例2 (1)求函数y=tan的单调区间. (2)比较tan1、tan2、tan3的大小. 解 (1)y=tan=-tan, 由kπ-<x-<kπ+(k∈Z), 得2kπ-<x<2kπ+π,k∈Z, ∴函数y=tan的单调递减区间是 ,k∈Z. (2)∵tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π), 又∵<2<π,∴-<2-π<0. ∵<3<π,∴-<3-π<0, 显然-<2-π<3-π<1<, 且y=tanx在内是增函数, ∴tan (2-π)<tan (3-π)<tan1,即tan2<tan3<tan1. 规律方法 正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样,采用整体代入法,但要注意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间.利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内. 跟踪演练2 (1)求函数y=3tan的单调区间. (2)比较tanπ与tan的大小. 解 (1)y=3tan=-3tan,令-+kπ<2x-<+kπ,则-+<x<+,k∈Z,从而函数y=3tan的单调递增区间为,k∈Z,故函数y=3tan的单调递减区间为,k∈Z. (2)tanπ=tan=tan, tan=-tanπ=-tan =-tan=tan, ∵-<<<, y=tanx在上单调递增, ∴tan<tan,即tanπ>tan. 要点三 正切函数图象与性质的综合应用 例3 设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、单调区间及对称中心; (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 解 (1)由-≠+kπ(k∈Z)得x≠+2kπ, ∴f(x)的定义域是. 由-+kπ<-<+kπ(k∈Z) 得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z). ∴函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z). 由-=(k∈Z)得x=kπ+π,故函数f(x)的对称中心是,k∈Z. (2)由-1≤tan≤,得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z).解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). ∴不等式-1≤f(x)≤的解集是 . 规律方法 对于形如y=tan(ωx+φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图象的研究,应以正切函数的性质与图象为基础,运用整体思想和换元法求解.如果ω<0,一般先利用诱导公式将x的系数化为正数,再进行求解. 跟踪演练3 画出函数y=|tanx|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性. 解 由y=|tanx|得, y= 其图象如图.由图象可知, 函数y=|tanx|是偶函数, 单调递增区间为(k∈Z), 单调递减区间为(k∈Z). 1.函数y=3tan(2x+)的定义域是(  ) A.{x|x≠kπ+,k∈Z} B.{x|x≠π-,k∈Z} C.{x|x≠π+,k∈Z} D.{x|x≠π,k∈Z} 答案 C 2.函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为(  ) A.(kπ-,kπ+),k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z C.(kπ-,kπ+),k∈Z D.(kπ-,kπ+),k∈Z 答案 C 3.方程tan=在区间[0,2π)上的解的个数是(  ) A.5B.4C.3D.2 答案 B 解析 由tan=解得2x+=+kπ(k∈Z),∴x=(k∈Z),又x∈[0,2π),∴x=0,,π,.故选B. 4.求函数y=3tan的单调区间. 解 因为y=3tan=-3tan, 又y=tan的单调递增区间, 令kπ-<-<kπ+(k∈Z), 所以3kπ-π<x<3kπ+2π(k∈Z). 所以y=3tan的单调递减区间为(3kπ-π,3kπ+2π)(k∈Z). 1.正切函数的图象 正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为x=kπ+,k∈Z,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质 (1)正切函数y=tanx的定义域是,值域是R. (2)正切函数在(k∈Z)上递增,不能写成闭区间.正切函数无单调减区间. 一、基础达标 1.函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一个对称中心是(  ) A.(0,0) B. C. D.(π,0) 答案 C 2.函数y=的值域是(  ) A.[-1,1] B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-1,+∞) 答案 B 解析 ∵-≤x≤且x≠0, ∴-1≤tan≤1,且tanx≠0,令tanx=t,则y=(如图),∴y≤-1或y≥1. 3.不等式tanx<-的解集是(  ) A. B.(k∈Z) C. D.(k∈Z) 答案 D 解析 在内,不等式tanx<-的解-<x<-.所以原不等式的解集为(k∈Z). 4.下列各式中正确的是(  ) A.tan735°>tan800° B.tan1>-tan2 C.tan<tan D.tan<tan 答案 D 5.与函数y=tan的图象不相交的一条直线是(  ) A.x= B.y= C.x= D.y= 答案 C 解析 由正切曲线可知,与y=tanx的图象不相交的直线是x=kπ+(k∈Z),所以与函数y=tan的图象不相交的直线是2x+=kπ+(k∈Z),即x=+(k∈Z),故选C. 6.函数y=的定义域是________. 答案 (k∈Z) 解析 ∵-tanx≥0,∴tanx≤,∴kπ-<x≤kπ+(k∈Z).∴定义域为(k∈Z). 7.求函数y=-tan2x+4tanx+1,x∈的值域. 解 ∵-≤x≤,∴-1≤tanx≤1. 令tanx=t,则t∈[-1,1]. ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4, 当t=1,即x=时,ymax=4. 故所求函数的值域为[-4,4]. 二、能力提升 8.函数y=tan(sinx)的值域为(  ) A. B. C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对 答案 C 解析 ∵-1≤sinx≤1,∴sinx∈. 又∵y=tanx在上单调递增, ∴tan (-1)≤y≤tan1,即y∈[-tan 1,tan 1]. 9.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是(  ) 答案 D 解析 当<x<π,tanx<sinx,y=2tanx<0; 当x=π时,y=0;当π<x<时, tanx>sinx,y=2sinx.故选D. 10.已知f(x)=asinx+btanx+1,且f=7,则f的值为________. 答案 -5 解析 ∵f=asin+btan+1=7, ∴asin+btan=6, ∴f=asinπ+btanπ+1=asin+btan+1=-+1=-6+1=-5. 11.已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1,x∈[-1,],θ∈(-,). (1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值和最小值. (2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数. 解 (1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=(x-)2-(x∈[-1,]), ∴当x=时,f(x)min=-; 当x=-1时,f(x)max=. (2)函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为直线x=-tanθ. ∵y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数, ∴-tanθ≤-1或-tanθ≥. ∴tanθ≥1或tanθ≤-. 解得θ的取值范围是[,)∪(-,-]. 12.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x值. 解 f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1, 因为-≤x≤,所以-≤tanx≤1. ∴当tanx=-1即x=-时, f(x)取最小值1;当tanx=1,即x=时,f(x)取最大值5. 三、探究与创新 13.函数y=sinx与y=tanx的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少? 解 因为当x∈时,tanx>x>sinx, 所以当x∈时,y=sinx与y=tanx没有公共点,因此函数y=sinx与y=tanx在区间[0,2π]内的图象如图所示: 观察图象可知,函数y=tanx与y=sinx在区间[0,2π]内有3个交点.

2018-2019学年高中数学 第三章 三角函数 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.2 正切函数的图象与性质学案 湘教版必修2.doc

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