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文档内容摘要
doc 3.1 变化的快慢与变化率 [基础达标] 1.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加ΔS等于(  ) A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2 C.4πRΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2 解析:选B.ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2. 2.某质点的运动规律为s=t2+3,则在时间段(3,3+Δt)中的平均速度等于(  ) A.6+Δt B.6+Δt+ C.3+Δt D.9+Δt 解析:选A.v== ==6+Δt. 3.已知点P(2,8)是曲线y=2x2上一点,则P处的瞬时变化率为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:选D.Δy=2(2+Δx)2-2×22=8Δx+2(Δx)2, ==8+2Δx, 当Δx无限趋近于0时,无限趋近于常数8. 4.已知物体的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则物体在时刻t=2时的速度为(  ) A. B. C. D. 解析:选D.= =4+Δt-, 当Δt无限趋近于0时,无限趋近于,∴选D. 5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s=-4t2+16t,此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为(  ) A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=4 解析:选B.Δs=-4(t+Δt)2+16(t+Δt)-(-4t2+16t)=16Δt-8t·Δt-4(Δt)2. 又因为在某时刻的瞬时速度为零, 当Δt趋于0时,=16-8t-4Δt无限趋近于0. 即16-8t=0,解得t=2. 6.某日中午12时整,甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶,乙车自A处以60 km/h的速度向正西方向行驶,至当日12时30分,两车之间的距离对时间的平均变化率为________. 解析:==100 km/h. 答案:100 km/h 7.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s=t2,则t=2时,木块的瞬时速度为________. 解析:==t+Δt. 当t=2,且Δt趋于0时,趋于. 答案: 8.已知曲线y=x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为________. 解析:Δy=(x+Δx)2+1-(x2+1)=2xΔx+(Δx)2, ==2x+Δx, 当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x=-4,所以x=-2,可得y=5. 答案:(-2,5) 9.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx都为,哪点附近的平均变化率最大. 解:在x=1附近的平均变化率为k1= ==2+Δx; 在x=2附近的平均变化率为k2= ==4+Δx; 在x=3附近的平均变化率为k3= ==6+Δx. 令Δx=,可得k1=,k2=,k3=,故函数f(x)在x=3附近的平均变化率最大. 10.如果一个质点从定点A开始运动,关于时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3.求该质点在t=4时的瞬时速度. 解:= = =48+12Δt+(Δt)2, 当Δt无限趋近于零时,无限趋近于48. 即质点在t=4时的瞬时速度是48. [能力提升] 1.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是(  ) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1=k2 D.无法确定 解析:选D.因为k1==2x0+Δx, k2==2x0-Δx, 又Δx可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定. 2.若函数f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,则Δx的范围是________. 解析:因为函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为: = = ==-3-Δx, 所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2. 又因为Δx>0,即Δx的取值范围是(0,+∞). 答案:(0,+∞) 3.若一物体的运动方程如下(s单位:m,t单位:s):s= 求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度v0; (3)物体在t=1时的瞬时速度. 解:(1)t∈[3,5]时,Δt=5-3=2,Δs=3×52+2-(3×32+2)=48,∴==24(m/s). (2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均速度为====3Δt-18, ∴物体在t=0时的瞬时速度为v0= = (3Δt-18)=-18(m/s). (3)∵物体在t=1时的平均速度为===3Δt-12, ∴物体在t=1时的瞬时速度为v= = (3Δt-12)=-12(m/s). 4.质点M按规律s=s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s).问是否存在常数a,使质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在常数a,则Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1=4a+4aΔt+a(Δt)2+1-4a-1=4aΔt+a(Δt)2,所以==4a+aΔt.当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,由题易知4a=8,解得a=2.所以存在常数a=2,使质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s.

2018-2019学年高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率作业1 北师大版选修1 -1.doc

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