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文档内容摘要
doc 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 3.1.3 导数的几何意义 【选题明细表】 知识点、方法 题号 函数的平均变化率 1,2,6 函数的导数 3,7 导数的几何意义 4,9,12,13 导数在物理中的应用 5 综合问题 8,10,11 【基础巩固】 1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D ) (A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx (C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0) 解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0), 所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D. 2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A ) (A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)2](m/s) (C)[5(Δt)2+Δt](m/s) (D)5(Δt)2(m/s) 解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.故选A. 3.(2018·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则 ( B ) (A)与x0,h都有关 (B)仅与x0有关,而与h无关 (C)仅与h有关,而与x0无关 (D)与x0,h均无关 解析:因为f′(x0)=, 所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B. 4.(2018·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( A ) (A)y=5x-1 (B)y=-5x+1 (C)y=x+1 (D)y=-x-1 解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A. 5.(2018·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D ) (A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6 解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6, 即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D. 6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是      .  解析:= ==-1. 答案:-1 7.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是    .  解析:= = =-3+ =-3f′(3)+ =-3f′(3)+2 =8. 答案:8 8.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程. (2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积. 解:(1)y′= = =(2x+Δx+1)=2x+1. y′x=1=2×1+1=3, 所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3. 设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2), 则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2. 因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-. 所以直线l2的方程为y=-x-. (2)解方程组得 所以直线l1和l2的交点坐标为(,-). l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0). 所以所求三角形的面积S=××-=. 【能力提升】 9.(2018·杭州高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是[0,],则点P横坐标的取值范围为( A ) (A)[-1,-] (B)[-1,0] (C)[0,1] (D)[,1] 解析:设点P(x0,y0),则 f′(x0)= = = =(2x0+2+Δx)=2x0+2. 结合导数的几何意义可知0≤2x0+2≤1, 解得-1≤x0≤-.故选A. 10.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列{}的前n项和为Sn,则S2 018的值为( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b, 由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1, 所以b=. 因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1), 所以=-,故数列{}的前n项和为Sn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,所以S2 018=1-=.故选A. 11.(2018·甘肃质检)若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为    .  解析:由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设P(x0,),由导数的几何意义知y′==2x0=1,得x0=, 所以P(,), 故点P到直线y=x-2的最小距离 d==. 答案: 12.已知曲线C:y=x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点? 解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, 所以切点为P(1,1). 因为y′== = =[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2, 所以y′=3. 所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0. (2)由 可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0, 解得x1=1,x2=-2. 从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8). 说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8). 【探究创新】 13.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为    .  解析:设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0), 因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1- (+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3, 所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2. 当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9. 即f′(x0)=3+2ax0-9. 所以f′(x0)=3(x0+)2-9-. 当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-. 因为斜率最小的切线与12x+y=6平行, 所以该切线斜率为-12. 所以-9-=-12. 解得a=±3. 又a<0,所以a=-3. 答案:-3

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