标签: 2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数作业苏教版选修1-1  
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doc 3.2.2 函数的和、差、积、商的导数 [基础达标] 1.已知f(x)=x3+3x+ln 3,则f′(x)=________. 解析:f′(x)=(x3)′+(3x)′+(ln 3)′=3x2+3xln 3+0=3x2+3xln 3. 答案:3x2+3xln 3 2.设y=-2exsin x,则y′=________. 解析:y′=-2[(ex)′sin x+ex(sin x)′]=-2(exsin x+excos x)=-2ex(sin x+cos x). 答案:-2ex(sin x+cos x) 3.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是________. 解析:∵f′(x)=3ax2+6x, ∴f′(-1)=3a-6=4,∴a=. 答案: 4.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且f′(-1)=0,则a=________.,解析:∵f(x)=(x2-4)(x-a),=x3-ax2-4x+4a,,∴f′(x)=3x2-2ax-4.,又∵f′(-1)=3+2a-4=0,∴a=. 答案: 5.函数y=的导数是________. 解析:y′=′= =. 答案: 6.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=________. 解析:∵y==1+, ∴y′=-. ∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-. ∴-a=2,即a=-2. 答案:-2 7.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=(-2)2; (3)y=x-sincos; (4)y=; (5)y=2xcos x-3xlog2 014x; (6)y=. 解:(1)法一:y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′ =4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9. 法二:∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3, ∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9. (2)∵y=(-2)2=x-4+4, ∴y′=x′-(4)′+4′=1-4·x-=1-2x-. (3)∵y=x-sincos=x-sin x, ∴y′=x′-(sin x)′=1-cos x. (4)y′= = =. (5)y′=(2x)′cos x+(cos x)′2x-3[x′log2 014x+(log2 014x)′x] =2xln 2·cos x-sin x·2x-3[log2 014x+(log2 014e)x] =2xln 2·cos x-2xsin x-3log2 014x-3log2 104e. (6)y==cos x-sin x, ∴y′=-sin x-cos x. 8.求过点(1,-1)的曲线y=x3-2x的切线方程. 解:设P(x0,y0)为切点, 则切线的斜率为k=f′(x0)=3x-2, 故切线方程为y-y0=(3x-2)(x-x0), 即y-(x-2x0)=(3x-2)(x-x0), 又知切线过点(1,-1),代入上述方程, 得-1-(x-2x0)=(3x-2)(1-x0), 解得x0=1或x0=-, 故所求的切线方程为y+1=x-1或y-=-(x+), 即x-y-2=0或5x+4y-1=0. [能力提升] 1.若函数f(x)=x3-f′(-1)·x2+x+5,则f′(1)=________. 解析:∵f(x)=x3-f′(-1)·x2+x+5, ∴f′(x)=x2-2f′(-1)·x+1, 将x=-1代入上式得f′(-1)=1+2f′(-1)+1, ∴f′(-1)=-2,再令x=1,得f′(1)=6. 答案:6 2.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为________. 解析:依题意得f′(x)=g′(x)+2x, f′(1)=g′(1)+2=4. 答案:4 3.点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 解:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为1. ∵y′=(ex)′=ex, ∴ex0=1,得x0=0,代入y=ex, 得y0=1,即P(0,1). 利用点到直线的距离公式得距离为. 4.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值. 解:(1)由7x-4y-12=0得 y=x-3. 当x=2时,y=,∴f(2)=,① 又f′(x)=a+,∴f′(2)=,② 由①,②得 解之得. 故f(x)=x-. (2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知, 曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1+)(x-x0), 即y-(x0-)=(1+)(x-x0). 令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-). 令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|-||2x0|=6.

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