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doc 第三章  1 正整数指数函数 一、选择题 1.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有(  ) ①底数a≥0;②指数x∈N+;③底数不为0;④y=ax(a>0,a≠1,x∈N+). A.0个  B.1个  C.2个  D.3个 [答案] D [解析] 由正整数指数函数定义知①错误,②③④正确故选D. 2.函数y=()x,x∈N+的值域是(  ) A.R B.[0,+∞) C.N D.{,,,…} [答案] D [解析] ∵n∈N+,∴把n=1,2,3,…代入可知选D. 3.下列函数:①y=3x2(x∈N+);②y=5x(x∈N+); ③y=3x+1(x∈N+);④y=3·2x(x∈N+). 其中是正整数指数函数的个数为(  ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 [答案] B [解析] 由正整数指数函数的定义知,①③④不是正整数指数函数,②是,故选B. 4.函数y=()x,x∈N+是(  ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 [答案] D [解析] ∵0<<1,当x∈N+且由小变大时,函数值由大变小,故选D. 5.函数y=7x,x∈N+的单调递增区间是(  ) A.R B.N+ C.[0,+∞) D.不存在 [答案] D [解析] 由于函数y=7x,x∈N+的定义域是N+,而N+不是区间,则该函数不存在单调区间. 6.满足3x2-1=的x的值的集合为(  ) A.{1} B.{-1,1} C.∅ D.{0} [答案] C [解析] 3 x2-1=3-2,∴x2-1=-2,即x2=-1,无解. 二、填空题 7.已知函数f(x)=(m-1)·4x(x∈N+)是正整数指数函数,则实数m=________. [答案] 2 [解析] 由m-1=1,得m=2. 8.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低,则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________. [答案] 2400元 [解析] 5年后价格为8100×;10年后价格为8100×2;15年后价格为8100×3=2400(元). 三、解答题 9.对于五年可成材的树木,在此期间的年生长率为18 ,以后的年生长率为10 ,树木成材后,即可以售树木,重栽新树木;也可以让其继续生长.问哪一种方案可获得较大的木材量?(只需考虑十年的情形) [解析] 设新树苗的木材量为Q,则十年后有两种结果: ①连续生长十年,木材量N=Q(1+18 )5(1+10 )5; ②生长五年后重栽,木材量M=2Q(1+18 )5, 则=, 因为(1+10 )5≈1.61<2,所以>1,即M>N. 因此,生长五年后重栽可获得较大的木材量. 10.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2009年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元,其他收入为5350元).预计该地区自2010年起的5年内,农民的工资性收入将以每年6 的年增长率增长,其他收入每年增加160元.根据以上数据,求2014年该地区农民人均收入约为多少元?(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42) [分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题,也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力. [解析] 农民人均收入 于两部分,一是工资性收入即7800×(1+6 )5=7800×1.065=10452(元),二是其它收入即5350+5×160=6150(元), ∴农民人均收入为10452+6150=16602(元). 答:2014年该地区农民人均收入约为16602元. 一、选择题 1.若f(x)=3x(x∈N且x>0),则函数y=f(-x)在其定义域上为(  ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 [答案] B [解析] ∵f(x)=3x(x∈N且x<0), ∴y=f(-x)=3-x=()x, ∴函数为减函数,故选B. 2.某地区重视环境保护,绿色植被面积呈上升趋势,经调查,从2002年到2011年这10年间每两年上升2 ,2010年和2011年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去,那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)(  ) A.848万m2 B.1679万m2 C.1173万m2 D.12494万m2 [答案] B [解析] 2012 2013年为815×(1+2 ), 2014 2015年为815×(1+2 )×(1+2 ). 共为815×(1+2 )+815×(1+2 )(1+2 )≈1679. 二、填空题 3.不等式()3-x2<32x(x∈N+)的解集是________. [答案] {1,2} [解析] 由()3-x2<32x得3 x2-3<32x. ∵函数y=3x,x∈N+为增函数, ∴x2-3<2x,即x2-2x-3<0, ∴(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3. 又∵x∈N+,∴x=1或x=2. 4.当x∈N+时,用“>”“<”或“=”填空: ()x________1,2x________1,()x________2x,()x________()x,2x________3x. [答案] < > < > < [解析] ∵x∈N+,∴()x<1,2x>1. ∴2x>()x.又根据对其图像的研究,知2x<3x,()x>()x.也可以代入特殊值比较大小. 三、解答题 5.已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27), (1)求函数f(x)的解析式; (2)求f(5); (3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,说明原因. [解析] (1)设正整数指数函数为f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+),因为函数f(x)的图像经过点(3,27), 所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x(x∈N+). (2)f(5)=35=243. (3)因为f(x)的定义域为N+,且在定义域上单调递增,所以f(x)有最小值,最小值是f(1)=3,f(x)无最大值. 6.某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2 ,试解答下面的问题: (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1+1.2 )10≈1.127,(1+1.2 )15≈1.196,(1+1.2 )16≈1.21)? [分析] 本题是增长率问题,可以分别写第1年、第2年,依次类推得x年的解析式. [解析] (1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2 =100×(1+1.2 ); 2年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2 )+100×(1+1.2 )×1.2 =100×(1+1.2 )2; 3年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2 )3. x年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2 )x. (2)10年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2 )10=100×1.01210≈112.7(万人). (3)令y=120,则有100×(1+1.2 )x=120,解方程可得x≈16. 即大约16年后该城市人口总数将达到120万人. 7.截止到1999年底,我国人口约为13亿,若今后能将人口年平均递增率控制在1‰,经过x年后,我国人口数字为y(亿). (1)求y与x的函数关系y=f(x); (2)求函数y=f(x)的定义域; (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数?并指出在这里函数的增、减有什么实际意义. [解析] (1)1999年年底的人口数:13亿; 经过1年,2000年年底的人口数:13+13×1‰=13(1+1‰)(亿); 经过2年,2001年年底的人口数:13(1+1‰)+13(1+1‰)×1‰=13(1+1‰)2(亿); 经过3年,2002年年底的人口数:13(1+1‰)2+13(1+1‰)2×1‰=13(1+1‰)3(亿). ∴经过年数与(1+1‰)的指数相同. ∴经过x年后的人口数:13(1+1‰)x(亿), ∴y=f(x)=13(1+1‰)x(x∈N). (2)理论上指数函数定义域为R, ∵此问题以年作为单位时间, ∴x∈N是此函数的定义域. (3)y=f(x)=13(1+1‰)x, ∵1+1‰>1,13>0, ∴y=f(x)=13(1+1‰)x是增函数, 即只要递增率为正数时,随着时间的推移,人口的总数总在增长.

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