标签: 2018-2019学年高中数学第三章推理与证明滚动训练北师大版选修1-2  
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doc 第三章 推理与证明 滚动训练 一、选择题 1.下面几种推理是合情推理的是(  ) ①由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质; ②由正方形、矩形的内角和为360°,归纳出所有四边形的内角和都是360°; ③三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸n边形内角和是(n-2)·180°; ④小李某次数学模块考试成绩是90分,由此推出小李的全班同学这次数学模块考试的成绩都是90分. A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④ 考点 合情推理的综合应用 题点 合情推理的判别 答案 B 2.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是(  ) A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 B 解析 根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”,即假设正确的是:假设a,b,c都不是偶数,故选B. 3.演绎推理“因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是增函数,而函数y=x是指数函数,所以y=x是增函数”所得结论错误的原因是(  ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.大前提和小前提都错误 答案 A 解析 指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当a>1时是增函数,当0<a<1时是减函数,故大前提错误. 4.“已知实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2=1,求的最大值”时,可理解为在以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆上找一点,使它到原点距离最远问题,据此类比到空间,试分析:已知实数x,y,z满足(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1,求的最大值是(  ) A.+1B.-1C.+1D.-1 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C 解析 由题意,根据类比思想,(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1,球心(1,1,1)到原点的距离为,∴的最大值是球心(1,1,1)到原点的距离加上半径,即+1,故选C. 5.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”索的因应是(  ) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 考点 分析法及应用 题点 寻找结论成立的充分条件 答案 C 解析 由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证<a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2-c2>0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.故求证“<a”索的因应是(a-c)(a-b)>0,故选C. 6.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是,则8335用算筹可表示为(  ) A. B. C. D. 考点 类比推理的应用 题点 类比推理在图形中的应用 答案 B 解析 由题意各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,则8335用算筹可表示为,故选B. 7.已知f(x)=x3+x,a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值一定(  ) A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都有可能 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题 答案 A 解析 ∵f(x)=x3+x,∴f(x)是增函数且是奇函数. ∵a+b>0,∴a>-b, ∴f(a)>f(-b),∴f(a)+f(b)>0. 二、填空题 8.如图所示的是一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排,那么第36颗珠子的颜色是________色. 考点  题点  答案 白 解析 通过观察发现,每5颗珠子为一组,前3颗为白色,后2颗为黑色,所以36=35+1=5×7+1,得第36颗珠子一定为白色. 9.在推导等差数列前n项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=________. 考点 类比推理的应用 题点 类比推理的方法、形式和结论 答案 44.5 解析 设S=sin21°+sin22°+…+sin289°, 则S=sin289°+sin288°+…+sin21°, 两式倒序相加,得 2S= (sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin289°+sin21°)=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)=89,∴S=44.5. 10.若三棱锥S-ABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,则S在底面ABC上的射影为△ABC的________.(填重心、垂心、内心、外心之一) 考点  题点  答案 垂心 解析 如图,设S在底面ABC上的射影为点O, ∴SO⊥平面ABC,连接AO,BO. ∵SA⊥BC,SO⊥BC,SA∩SO=S, ∴BC⊥平面SAO,∴BC⊥AO. 同理可证,AC⊥BO. ∴O为△ABC的垂心. 11.如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N+)个点,相应的图案中总的点数记为an,则++…+=________. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案  解析 根据分析,可得 a2=3=3×(2-1), a3=6=3×(3-1), a4=9=3×(4-1), a5=12=3×(5-1), …, an=3(n-1), 数列{an}是首项为3,公差为3的等差数列, 通项为an=3(n-1)(n≥2), 所以==, 则++…+ =9×× =1-=. 三、解答题 12.已知a,b是正实数,求证:+≥+. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 方法一 (分析法)已知a,b是正实数, 要证+≥+, 只需证a+b≥(+), 即证(a+b-)(+)≥(+), 即证a+b-≥, 就是要证a+b≥2. 显然a+b≥2恒成立, 所以+≥+. 方法二 (作差法)因为a,b是正实数, 所以+--=+= =≥0,所以+≥+. 方法三 (综合法)因为a,b是正实数, 所以+++≥2+2=2+2, 当且仅当a=b时取等号, 所以+≥+. 方法四 (综合法)因为a,b是正实数, 所以(+)=a+b++ ≥a+b+2 =a+b+2=(+)2, 当且仅当a=b时取等号, 所以+≥+. 13.求证:不论x,y取何非零实数,等式+=总不成立. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设存在非零实数x,y使得等式+=成立. 于是有y(x+y)+x(x+y)=xy, 即x2+y2+xy=0, 即2+y2=0. 即 所以x=y=0,这与已知x,y为非零实数矛盾,所以原命题成立. 四、探究与拓展 14.将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中: ①每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点);②0在原点,1在(0,1),2在(1,1),3在(1,0),4在(1,-1),5在(0,-1),9在(-1,2),…,所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数,则数字(2n+1)2(n∈N+)的坐标为__________. 考点  题点  答案 (-n,n+1) 解析 9的坐标为(-1,2),且9=(2×1+1)2,25的坐标为(-2,3),且25=(2×2+1)2,49的坐标为(-3,4),且49=(2×3+1)2,…,所以(2n+1)2的坐标为(-n,n+1). 15.请你把不等式“若a1,a2是正实数,则有+≥a1+a2”推广到一般情形,并证明你的结论. 解 推广的结论: 若a1,a2,…,an都是正实数,则有 ++…++≥a1+a2+…+an. 证明:∵a1,a2,…,an都是正实数, ∴+a2≥2a1;+a3≥2a2;… +an≥2an-1;+a1≥2an, ∴++…++≥a1+a2+…+an.

2018-2019学年高中数学 第三章 推理与证明滚动训练 北师大版选修1 -2.docx

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