标签: 2018-2019学年高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1.1数学归纳法原理导学案新人教B版选修4-5  
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doc 3.1.1 数学归纳法原理 1.理解归纳法和数学归纳法原理. 2.会用数学归纳法证明有关问题. 自学导引 1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常称为归纳法. 2.一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n取初始值n0时命题成立; (2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法. 基础自测 1.设f(n)=+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于(  ) A. B. C.+ D.- 解析 f(n)=+++…+ f(n+1)=++…+++ ∴f(n+1)-f(n)=+-=-,选D. 答案 D 2.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…·(n+n)=2n×1×3…(2n-1)时,从“k到k+1”左边需增乘的代数式是(  ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D. 解析 n=k时,(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×…×(2n-1). n=k+1时,(k+2)…(k+k)·(k+1+k)(k+1+k+1). ∴增乘的代数式是=2(2k+1),选C. 答案 C 3.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是________. 解析 a1=1,a2=a1+3=4,a3=4+5=9,a4=9+7=16,猜想an=n2. 答案 an=n2 知识点1 利用数学归纳法证明等式 【例1】 通过计算下面的式子,猜想出-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的结果,并加以证明. -1+3=________;-1+3-5=________; -1+3-5+7=________;-1+3-5+7-9=________. 解 上面四个式子的结果分别是2,-3,4,-5, 由此猜想:-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,式子左右两边都等于-1,即这时等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时等式成立,即 -1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)kk 当n=k+1时, -1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1(2k+1) =(-1)kk+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(-k+2k+1) =(-1)k+1(k+1). 即n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)知,命题对于n∈N*都成立. ●反思感悟:用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. 1.用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+. 证明 (1)当n=1时,左边=1-=,右边=,命题成立. (2)假设当n=k (k≥1)时命题成立,即 1-+-+…+- =++…+, 那么当n=k+1时, 左边=1-+-+…+-+-=++…++- =++…++. 上式表明当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2)知,命题对一切自然数均成立. 【例2】 证明+++…++=1-(其中n∈N*)成立的过程如下,请判断证明是否正确?为什么? 证明:(1)当n=1时,左边=,右边=1-=. ∴当n=1时,等式成立. (2)假设当n=k (k≥1)时,等式成立,即 +++…++=1-, 那么当n=k+1时, 左边=+++…+++ ==1-=右边. 这就是说,当n=k+1时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立. 解 不正确,错误的原因在第(2)步,它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k+1时,式子+++…+++的和,而没有利用“归纳假设”. 正确的证明如下: (1)当n=1时,左边=,右边=1-=,等式成立. (2)假设当n=k (k∈N*,k≥2)时,等式成立,就是 +++…++=1-, 那么当n=k+1时, 左边=+++…+++ =1-+=1-=1-=右边. 这就是说,当n=k+1时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意n∈N*都成立. ●反思感悟:在推证“n=k+1”命题也成立时,必须把“归纳假设”n=k时的命题,作为必备条件使用上,否则不是数学归纳法.对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错是常见错误. 2.用数学归纳法证明: …= (n≥2). 证明 (1)当n=2时,左边=1-=, 右边==,等式成立. (2)假设当n=k (k∈N*,k≥2)时,等式成立, 即…= 则当n=k+1时, … ==·=, 即n=k+1时,等式成立. 由(1)(2)知,对于任意正整数n(n≥2),原等式成立. 知识点2 用数学归纳法证明不等式 【例3】 用数学归纳法证明: 1+++…+<2- (n≥2). 证明 (1)当n=2时,1+=<2-=,命题成立. (2)假设n=k (k∈N*,k≥2)时命题成立, 即1+++…+<2-, 当n=k+1时,1+++…++ <2-+ <2-+=2-+- =2-,命题成立. 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立. ●反思感悟:(1)由n=k到n=k+1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一. (2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等. 3.求证:1+++…+≥ (n∈N*). 证明 (1)当n=1时,左边=1,右边=1, ∴左边≥右边,即命题成立. (2)假设当n=k时,命题成立, 即1+++…+≥. 那么当n=k+1时, 1+++…++≥+ =+≥+ ====. 由(1)(2)知原不等式在n∈N*时均成立. 课堂小结 1.数学归纳法的两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论,因为单靠(1)无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1),假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了. 2.数学归纳法证明的关键是第二步,此处要搞清两点: (1)当n=k+1时,证明什么,即待证式子的两端发生了哪些变化. (2)由n=k推证n=k+1时,可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明,只不过必须得把n=k时的结论作为条件应用上. 随堂演练 1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证(  ) A.n=1成立 B.n=2成立 C.n=3成立 D.n=4成立 解析 因为多边形边数最少的是三角形,故应选C. 答案 C 2.设f(n)=1+++…+(n∈N+),则f(n+1)-f(n)等于(  ) A. B.+ C.+ D.++ 解析 f(n)=1+++…+. f(n+1)=1+++…++++. ∴f(n+1)-f(n)=++,应选D. 答案 D 3.已知a1=,an+1=,n∈N*,求证:an<2. 证明 (1)n=1时,∵a1=,∴a1<2. (2)设n=k (k≥1)时,ak<2, 当n=k+1时,ak+1=<=2. 故n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)知,n∈N*时,an<2都成立. 基础达标 1.满足1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=3n2-3n+2的自然数n=(  ) A.1 B.1或2 C.1,2,3 D.1,2,3,4 解析 经验证当n=1,2,3时均正确,但当n=4时,左边=1×2+2×3+3×4+4×5=40,而右边=3×42-3×4+2=38,故选C. 答案 C 2.一个与自然数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立推得n=k+2时命题也成立则(  ) A.该命题对于n>2的自然数n都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k取什么值无关 D.以上答案都不对 解析 由题意n=2时成立可推得n=4,6,8…都成立,因此所有正偶数都成立,故选B. 答案 B 3.某个与正整数n有关的命题,如果当n=k (k∈N*且k≥1)时该命题成立,则一定可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时该命题不成立,那么应有(  ) A.当n=4时该命题成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D.当n=6时该命题不成立 答案 C 4.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an.通过求a2,a3,a4猜想an的表达式是________. 解析 +a2=2(2×2-1)a2,a2=, ++a3=3(2×3-1)a3,a3=, +++a4=4(2×4-1)a4,a4=, 猜想an=. 答案 an= 5.观察下列等式 1=1, 3+5=8, 7+9+11=27, 13+15+17+19=64, …, 请猜想第n个等式是________________________. 答案 (n2-n+1)+(n2-n+3)+…+[n2-n+(2n-1)]=n3 6.求证:++…+>(n≥2,n∈N*). 证明 (1)当n=2时,左边=+++>,不等式成立. (2)假设n=k (k≥2,k∈N*)时命题成立, 即++…+>, 则当n=k+1时, ++…++++=++…++ >+ >+=, 所以当n=k+1时不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立. 综合提高 7.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为(  ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析 当n=1时,an+1=a2, ∴左边应为1+a+a2,故选C. 答案 C 8.已知f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若f(k)≥k2成立,则f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命题成立的是(  ) A.若f(3)≥9成立,则对于任意的k≥1,均有f(k)≥k2成立 B.若f(4)≥16成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)<k2成立 C.若f(7)≥49成立,则对于任意的k<7,均有f(k)<k2成立 D.若f(4)≥16成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立 答案 D 9.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________. 答案 (k3+5k)+3k(k+1)+6 10.用数学归纳法证明:设f(m)=1+++…+,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N+且n≥2),第一步要证的等式是________. 答案 2+f(1)=2f(2) 11.求证:++…+=++…+. 证明 (1)当n=1时,左边==,右边=,等式成立. (2)假设当n=k时,等式成立,即 ++…+ =++…+. 则当n=k+1时, ++…++ =++…++ =++…+++ =++…+++ =++…++, 即当n=k+1时,等式成立. 根据(1)(2)可知,对一切n∈N*,等式成立. 12.用数学归纳法证明:当n∈N*时, (1+2+3+…+n)≥n2. 证明 (1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,左边≥右边,不等式成立. (2)假设n=k (k≥1,k∈N*)时不等式成立, 即(1+2+3+…+k)≥k2, 则当n=k+1时, 左边=[(1+2+…+k)+(k+1)]· =(1+2+3+…+k)+(1+2+3+…+k)+(k+1)+1 ≥k2+·+(k+1)+1 =k2++1+(k+1), ∵当k≥2时,1+++…+≥1+=, ∴左边≥k2++1+(k+1)× =k2+2k+1+≥(k+1)2. 这就是说,当n=k+1时,不等式成立. 由(1)(2)知,当n∈N*时,不等式成立.

2018-2019学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1.1 数学归纳法原理导学案 新人教B版选修4-5.docx

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