标签: 2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1-3.1.2(一)实数系复数的引入(一)同步学案新人教B版选修1-2  
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doc 3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入(一) 学习目标 1.了解引入虚数单位i的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件. 知识点一 复数的概念及代数表示 思考 为解决方程x2=2在有理数范围内无根的问题,数系从有理数系扩充到实数系;那么怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢? 答案 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同时得到一些新数. 梳理 (1)复数的概念 设a,b都是实数,形如a+bi的数叫做复数. (2)复数的表示 复数通常用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部,i称作虚数单位. 知识点二 复数的分类与复数相等的充要条件 思考1 复数z=a+bi(a,b∈R),当b=0时,z是什么数? 答案 实数. 思考2 复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,z是什么数? 答案 纯虚数. 梳理 (1)复数的分类 ①复数(a+bi,a,b∈R) ②集合表示: (2)复数相等的充要条件 如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c,且b=d;a+bi=0⇔a=0,且b=0. 1.若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( × ) 2.复数z=bi是纯虚数.( × ) 3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( √ ) 类型一 复数的概念与分类 例1 当实数m满足什么条件时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i: (1)是纯虚数; (2)是实数; (3)是虚数. 解 (1)当时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数,解得m=4. (2)当时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是实数,解得m=-2或m=-3. (3)当时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是虚数,解得m<1-2或m>1+2且m≠-2且m≠-3. 反思与感悟 利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)),求解参数时,注意参数本身的取值范围,如分母不能为0. 跟踪训练1 实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解 (1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,且有意义, 即m-1≠0,解得m=-3. (2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义, 即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3. (3)要使z是纯虚数,m需满足=0,m-1≠0, 且m2+2m-3≠0, 解得m=0或m=-2. 类型二 复数相等 例2 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值; (2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值. 解 (1)∵x2-y2+2xyi=2i, ∴ 解得或 (2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为 3m2-m-1=(10-m-2m2)i, ∴ 解得a=11或a=-. 反思与感悟 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数. 跟踪训练2 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值. 解 ∵M∪P=P,∴M⊆P, ∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得 解得m=1; 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得 解得m=2. 综上可知m=1或m=2. 1.下列复数中,满足方程x2+2=0的是(  ) A.±1 B.±i C.±i D.±2i 答案 C 2.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值是(  ) A.1 B.-1 C.±1 D.以上都不对 答案 A 解析 因为(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,所以x2-1=0且x2+3x+2≠0,解得x=1,故选A. 3.下列几个命题: ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等; ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等; ③1-ai(a∈R)是一个复数; ④虚数的平方不小于0; ⑤-1的平方根只有一个,即为-i; ⑥i是方程x4-1=0的一个根; ⑦i是一个无理数. 其中真命题的个数为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B 解析 命题①②③⑥正确,④⑤⑦错误. 4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a=________. 答案 -4 解析 根据复数相等的充要条件,有解得a=-4. 5.以2i-的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是________. 答案 2-2i 解析 2i-的虚部为2,i+2i2=-2+i,其实部为-2. ∴新复数z=2-2i. 1.区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明确:实数也是复数,要把复数与实数加以区别.对于纯虚数bi(b≠0,b∈R)不要只记形式,要注意b≠0. 2.应用两复数相等的充要条件时,首先要把等号左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解. 3.若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必是实数. 一、选择题 1.设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为a,b∈R,当“a=0”时“复数a+bi不一定是纯虚数,也可能b=0,即a+bi=0∈R”. 而当“复数a+bi是纯虚数”,则“a=0”一定成立. 所以a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件. 2.下列命题中,真命题的个数是(  ) ①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1; ②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i; ③若x2+y2=0,则x=y=0. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 对于①,由于x,y∈C,所以x,y不一定是x+yi的实部和虚部,故①是假命题;对于②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题;③是假命题,如12+i2=0,但1≠0,i≠0. 3.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于(  ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 答案 C 4.若sin 2θ-1+i(cos θ+1)是纯虚数,则θ的值为(  ) A.2kπ-(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z) C.2kπ±(k∈Z) D.π+(k∈Z) 考点 复数的概念 题点 由复数的分类求未知数 答案 B 解析 由题意,得 解得(k∈Z),∴θ=2kπ+,k∈Z. 5.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为(  ) A. B.2 C.0 D.1 答案 D 解析 由复数相等的充要条件知, 解得 ∴x+y=0.∴2x+y=20=1. 6.若复数z=+i是纯虚数(i为虚数单位),则tan的值为(  ) A.7 B.- C.-7 D.-7或- 答案 C 解析 ∵复数z=+i是纯虚数,∴cos θ-=0,sin θ-≠0,∴sin θ=-,∴tan θ=-,则tan===-7. 7.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于(  ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B 解析 由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即解得 ∴z=3-i,故选B. 二、填空题 8.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=________. 答案 -2 解析 由题意可得解得m=-2. 9.若复数z=m2+m-2+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为________. 答案 2或-1 解析 ∵复数z=m2+m-2+(m2-m-2)i为实数, ∴m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. 10.复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是纯虚数,则实数a的取值范围是________________. 答案 (-∞,-1)∪(-1,+∞) 解析 若复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i是纯虚数,则a2-2a-3=0,|a-2|-1≠0,解得a=-1, ∴当a≠-1时,复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是纯虚数. 11.已知z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i.则m=1是z1=z2的________条件. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 充分不必要 解析 当z1=z2时,必有m2+m+1=3,m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,显然m=1是z1=z2的充分不必要条件. 12.已知(m+n)-(m2-3m)i≥-1,且m∈R,n∈N+,则m+n=________. 考点 复数的概念 题点 由复数的分类求未知数 答案 1或2 解析 由题意得 由②,得m=0或m=3. 当m=0时,由(m+n)≥-1,得0<n≤2, ∴n=1或n=2. 当m=3时,由(m+n)≥-1,得0<n+3≤2, ∴-3<n≤-1,即n无自然数解. ∴m,n的值分别为m=0,n=1或m=0,n=2. 故m+n的值为1或2. 三、解答题 13.已知复数z=a2-1-(a2-3a+2)i,a∈R. (1)若z是纯虚数,求a的值; (2)若z是虚数,且z的实部比虚部大,求a的取值范围. 解 复数z=a2-1-(a2-3a+2)i,a∈R. (1)由z是纯虚数,可得a2-1=0,a2-3a+2≠0, 解得a=-1. (2)由z是虚数,且z的实部比虚部大, 可得a2-1>-a2+3a-2≠0, 解得a>1或a<且a≠2. 所以a的取值范围为∪(1,2)∪(2,+∞). 四、探究与拓展 14.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 解 由定义运算=ad-bc, 得=3x+2y+yi, 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因为x,y为实数,所以 得得x=-1,y=2. 15.若m为实数,z1=(m2+1)+(m3+3m2+2m)i,z2=(4m+2)+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1<z2的m的值的集合又是什么? 解 当z1∈R时,m3+3m2+2m=0, 解得m=0或m=-1或m=-2, ∴z1=1或z1=2或z1=5. 当z2∈R时,m3-5m2+4m=0, 解得m=0或m=1或m=4, ∴z2=2或z2=6或z2=18. 上面m的公共值为m=0,此时,z1与z2同时为实数,且z1=1,z2=2. ∴当z1>z2时,m值的集合为空集;当z1<z2时,m值的集合为{0}.

2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1-3.1.2(一) 实数系 复数的引入(一)同步学案 新人教B版选修1 -2.docx

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