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文档内容摘要
doc 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末检测试卷(三) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则(  ) A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D.∈S 答案 B 2.设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是(  ) A.若z+z>0,则z>-z B.|z1-z2|= C.z+z=0⇔z1=z2=0 D.z1-是纯虚数或零 答案 D 解析 举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则z=15+8i,z=-8i,z+z>0,但z与-z都是虚数,不能比较大小,故A错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与不一定相等,B错;若z1=2+i,z2=1-2i,则z=3+4i,z=-3-4i,z+z=0,但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时是零,当b≠0时,是纯虚数. 3.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是(  ) A.A B.B C.C D.D 答案 B 解析 由共轭复数的定义可得. 4.复数等于(  ) A.i B.-i C.2-i D.-2+i 答案 A 解析 ====i. 5.是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i是虚数单位),则z等于(  ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i 答案 D 解析 设z=a+bi(a,b∈R), 则z+=2a=2,得a=1. (z-)i=2bi2=2,得b=-1, ∴z=1-i. 6.设复数z满足=i,则|1+z|的值为(  ) A.0 B.1 C. D.2 答案 C 解析 由=i,得z==-i, ∴|1+z|=|1-i|=. 7.已知f(n)=in-i-n(n∈N+),则集合{f(n)}的元素个数是(  ) A.2 B.3 C.4 D.无数个 答案 B 解析 f(n)有三个值0,2i,-2i. 8.已知关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z在复平面内对应的点位于第四象限.其中的真命题为(  ) A.p2,p3 B.p1,p4 C.p2,p4 D.p3,p4 答案 D 解析 z===1-i, p1:|z|==. p2:z2=(1-i)2=-2i. p3:z的共轭复数为1+i,真命题. p4:z在复平面内对应点的坐标为(1,-1),位于第四象限,真命题.故选D. 9.已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A(0,1),B(-1,3),则等于(  ) A.3+i B.3-i C.-1+3i D.-3-i 答案 A 解析 z1=i,z2=-1+3i,==3+i. 10.已知是复数z的共轭复数,z++z·=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 A 解析 设z=x+yi(x,y∈R),则z+=2x,z·=x2+y2,所以由z++z·=0,得x2+y2+2x=0,即(x+1)2+y2=1,故选A. 11.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则的值为(  ) A.1 B.0 C.1+i D.1-i 考点  题点  答案 D 解析 复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数, 可得a=1,===1-i. 12.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 解析 设复数z=a+bi(a,b∈R), 由题意可得定义运算=ad-bc, 所以=z(1+i)-(1+2i)(1-i)=0, 代入整理可得(a-b)+(a+b)i=3+i, 解得a=2,b=-1, 所以z=2-i,所以=2+i, 所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限. 故选A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在复平面内,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是________. 答案 (3,4) 解析 ∵z=m2-4m+(m2-m-6)i所对应的点在第二象限,∴解得3<m<4. 14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________. 答案  解析 === =+i, ∵为纯虚数, ∴∴a=. 15.已知复数z1=a+bi,z2=1+ai(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围为________. 答案 (-1,1) 解析 由题意知,a=0,故z1=bi,z2=1. ∵|z1|<z2,∴|bi|<1, ∴-1<b<1. 16.下列说法中正确的是________.(填序号) ①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x∈R,y∈∁CR,则必有②2+i>1+i;③虚轴上的点表示的数都是纯虚数;④若一个数是实数,则其虚部不存在;⑤若z=,则z3+1对应的点在复平面内的第一象限. 答案 ⑤ 解析 由y∈∁CR知y是虚数,则不成立,故①错误;两个不全为实数的复数不能比较大小,故②错误;原点也在虚轴上,表示实数0,故③错误;实数的虚部为0,故④错误;⑤中z3+1=+1=i+1,对应点在第一象限,故⑤正确. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m为何值时: (1)z是实数;(2)z是纯虚数. 解 (1)要使复数z为实数,需满足 解得m=-2或m=-1. 即当m=-2或m=-1时,z是实数. (2)要使复数z为纯虚数,需满足 解得m=3. 即当m=3时,z是纯虚数. 18.(12分)已知复数z1=2-3i,z2=.求: (1)z1z2;(2). 解 z2=== ==1-3i, 则(1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i. (2)== ==+i. 19.(12分)已知复数z满足:|z|=1+3i-z. (1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标; (2)求的共轭复数. 解 (1)设z=x+yi(x,y∈R),由已知,得=1+3i-(x+yi)=(1-x)+(3-y)i. 由得所以z=-4+3i. 其在复平面上对应的点的坐标为(-4,3). (2)由(1)知z=-4+3i, 所以=====3+4i,共轭复数为3-4i. 20.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 解 (1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi, 由题意得a2+b2=2且2ab=2, 解得a=b=1或a=b=-1, 所以z=1+i或z=-1-i. (2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1. 当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以S△ABC=1. 21.(12分)已知复数z=,ω=z+ai(a∈R),当≤时,求a的取值范围. 解 因为z===1-i, 所以|z|=. 又≤,所以|ω|≤2. 而ω=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(a∈R), 则≤2⇒(a-1)2≤3, 所以-≤a-1≤,1-≤a≤1+. 22.(12分)求同时满足下列条件的所有的复数z. (1)z+∈R,且1<z+≤6; (2)z的实部和虚部都是整数. 解 设z=x+yi(x,y∈Z), 则z+=x+yi. 因为z+∈R,所以y=0. 所以y=0或x2+y2=10. 又1<z+≤6,所以1<x≤6. ①当y=0时,可以化为1<x+≤6,当x<0时, x+<0,当x>0时,x+≥2>6,故当y=0时,无解. ②当x2+y2=10时,可化为1<2x≤6,即<x≤3. 因为x,y∈Z,故可得z=1+3i或z=1-3i或z=3+i或z=3-i.

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