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doc 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 [A 基础达标] 1.废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为=256+3x,表明(  ) A.废品率每增加1%,生铁成本增加259元 B.废品率每增加1%,生铁成本增加3元 C.废品率每增加1%,生铁成本平均每吨增加3元 D.废品率不变,生铁成本为256元 解析:选C.回归方程的系数表示x每增加一个单位,平均增加,当x为1时,废品率应为1%,故当废品率增加1%时,生铁成本平均每吨增加3元. 2.已知某产品连续4个月的广告费用为xi(i=1,2,3,4)千元,销售额为yi(i=1,2,3,4)万元,经过对这些数据的处理,得到如下数据信息:①x1+x2+x3+x4=18,y1+y2+y3+y4=14;②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系;③回归直线方程=x+中,=0.8(用最小二乘法求得),那么当广告费用为6千元时,可预测销售额约为(  ) A.3.5万元       B.4.7万元 C.4.9万元 D.6.5万元 解析:选B.依题意得x=4.5,y=3.5,由回归直线必过样本点中心得=3.5-0.8×4.5=-0.1,所以回归直线方程为=0.8x-0.1.当x=6时,=0.8×6-0.1=4.7. 3.某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得 的线性回归方程是(  ) A.=11.47+2.62x B.=-11.47+2.62x C.=2.62+11.47x D.=11.47-2.62x 解析:选A.由题中数据得x=6.5,y=28.5, =y-x=28.5-2.62×6.5=11.47, 所以y与x的线性回归方程是=2.62x+11.47.故选A. 4.若某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元,则年支出预计不会超过(  ) A.10亿元 B.9亿元 C.10.5亿元 D.9.5 亿元 解析:选C.代入数据y=10+e,因为|e|≤0.5, 所以9.5≤y≤10.5,故不会超过10.5亿元. 5.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间的关系如下表: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5,当广告支出5万元时,随机误差的效应(残差)为________. 解析:因为y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5,当x=5时,=50,当广告支出5万元时,由表格得:y=60,故随机误差的效应(残差)为60-50=10. 答案:10 6.若一组观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之间满足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),且ei恒为0,则R2为________. 解析:由ei恒为0,知yi=i,即yi-i=0, 故R2=1-=1-0=1. 答案:1 7.某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表: x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知x=280,xiyi=3 487. (1)求,; (2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关,试求出其回归方程. 解:(1) ==6, ==. (2)因为y与x有线性相关关系, 所以===4.75, =-6×4.75=≈51.36. 故回归方程为=4.75 x+51.36. 8.已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表: 学生的编号i 1 2 3 4 5 数学xi 80 75 70 65 60 物理yi 70 66 68 64 62 (1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少? (2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y与x的回归方程; (3)利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在(-0.1,0.1)范围内,则称回归方程为“优拟方程”,问:该回归方程是否为“优拟方程”? 参考数据和公式:=x+,其中. 解:(1)记事件A为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”, 则P(A)==. (2)因为==70, ==66, [B 能力提升] 9.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如表的统计资料: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 10.(选做题)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示: 身高x(cm) 60 70 80 90 100 110 体重y(kg) 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高x(cm) 120 130 140 150 160 170 体重y(kg) 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)试建立y与x之间的回归方程; (2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高175 cm、体重82 kg的在校男生体重是否正常? 解:(1)根据题表中的数据画出散点图如图所示. 由图可看出,样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围, 于是令z=ln y,得下表: x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 作出散点图如图所示: 由表中数据可得z与x之间的回归直线方程为 =0.662 5+0.020x, 则有=e0.662 5+0.020x. (2)当x=175时,预报平均体重为=e0.662 5+0.020×175≈64.23, 因为64.23×1.2≈77.08<82,所以这个男生偏胖.

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